¿Existe una teoría de las geometrías "híbridas"?

Question

Las geometrías 2D estándar, elíptica, euclidiana e hiperbólica, pueden derivarse todas de la misma idea básica: partir de una geometría proyectiva formada por líneas y planos que pasan por el origen en $R^3$ y luego poner alguna cuádrica en su camino. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ para elíptica, $z^2 = 1$ para la euclidiana, y $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ para hiperbólico. Esto se puede reescribir como $1x^2 + 1y^2 + z^2 = 1$ , $0x^2 + 0y^2 + z^2 = 1$ y $(-1)x^2 + (-1)y^2 + z^2 = 1$ .

He intentado variar los parámetros de la superficie de proyección y he encontrado algunas posibilidades de geometrías híbridas que ya no son isótropas porque contienen líneas no isomórficas.

Cilindro $x^2 + z^2 = 1$ conduce a un híbrido de geometría elíptica y euclidiana, cilindro hiperbólico $x^2 - z^2 = 1$ a un híbrido de geometría euclidiana e hiperbólica e hiperboloide de una hoja $x^2 - y^2 + z^2 = 1$ a un híbrido de geometría elíptica e hiperbólica.

Si consideramos que la geometría elíptica no contiene puntos ideales, que la geometría euclídea contiene una recta ideal (recta en el infinito) y que la geometría hiperbólica contiene una cónica ideal (el absoluto), entonces estos tres híbridos tienen un único punto ideal, dos rectas ideales que se cruzan y una cónica ideal, respectivamente. La diferencia entre la última y la geometría hiperbólica es que la geometría hiperbólica tiene puntos reales dentro de la cónica y puntos ultra-ideales fuera de ella, mientras que el híbrido elíptico/hiperbólico es al revés: sus puntos reales están fuera de la cónica.

Esto es lo más lejos que llegué -- debería haber una manera de imponer la métrica a estas geometrías para que las líneas rectas fueran las distancias más cortas entre puntos. Me interesaría saber si alguien ha estudiado esto más a fondo.

Answer 1

Yo situaría su pregunta en el ámbito de la geometría proyectiva. Lo más probable es que incrustes el plano en algún desplazamiento respecto al origen (convencionalmente en $z=1$ ), y en su lugar hacer que el cono tenga su vértice en el origen. Así se obtienen coordenadas homogéneas y ecuaciones homogéneas para las cónicas. Creo que la pregunta que estás haciendo es equivalente a una en esa configuración.

Utilizando un formalismo proyectivo, y siguiendo Perspectivas de la geometría proyectiva y conferencias de su autor J. Richter-Gebert, yo resumiría lo que usted describe en Geometrías de Cayley-Klein . Su definición no capta la imagen completa. Para medir ángulos, no sólo se necesita la cónica primaria, como conjunto de puntos incidentes, sino también la cónica dual, como conjunto de rectas tangentes. Para cónicas no degeneradas, basta con calcular una a partir de la otra. Pero para cónicas que se factorizan en un único componente con multiplicidad dos, como en el caso de $z^2=0$ es necesario enunciar explícitamente la cónica dual. Para la geometría euclidiana, esa cónica está formada por los puntos del círculo ideal. En coordenadas estándar (homogeneizadas mediante $(x,y)\mapsto[x:y:1]$ ) esos puntos circulares ideales serían $[1:\pm i:0]$ . Por tanto, son dos puntos de la recta en el infinito con coordenadas complejas. Son incidentes con todo círculo euclidiano.

La receta general para medir distancias en cualquiera de ellos es la siguiente: dados dos puntos, traza la línea que los atraviesa. Interactúe esa línea con la cónica fundamental; estas intersecciones pueden ser complejas. Calcule la relación cruzada de éstas para los puntos y luego tome el logaritmo natural. Aplique un factor cosmético para ajustarse a las convenciones, en particular para obtener valores reales en casos comunes. Para los ángulos se realiza el procedimiento dual: se halla el punto de intersección, se trazan las tangentes a la cónica fundamental y se calcula la razón cruzada de estas cuatro rectas.

Capítulo 20.6 del Perspectivas clasifica las geometrías basándose en la firma de la cónica fundamental, dada como par primo-dual.

1. $(+,+,+),(+,+,+)$ es una cónica no degenerada puramente compleja que conduce a la geometría elíptica.
2. $(+,+,-),(+,+,-)$ es una cónica real no degenerada que conduce a la geometría hiperbólica.
3. $(+,+,0),(+,0,0)$ es un par de rectas complejas que se cruzan en un punto real de multiplicidad dos. Se trata de geometría euclidiana dual, es decir, geometría euclidiana pero con los papeles de rectas y puntos intercambiados.
4. $(+,-,0),(+,0,0)$ es un par de rectas reales que se cruzan en un punto de multiplicidad dos. Se puede considerar el dual del caso 6.
5. $(+,0,0),(+,+,0)$ es una línea doble con dos puntos conjugados complejos designados, lo que conduce a la geometría euclidiana.
6. $(+,0,0),(+,-,0)$ es una línea doble con dos puntos reales designados. A veces se denomina geometría pseudoeuclidiana o geometría de Minkowsky. También es relevante como geometría de la relatividad especial, ya que los ángulos se suman a medida que lo hacen las velocidades relativistas.
7. $(+,0,+),(+,0,0)$ es una línea doble con un punto doble designado. Perspectivas llama a esto geometría galileana.

Para el caso 2, es importante observar que sólo se obtiene una geometría hiperbólica tradicional si nos limitamos a los puntos del interior. Interior en este sentido es el conjunto de puntos reales a través de los cuales cada línea real intersecará la cónica fundamental en dos puntos distintos. En este sentido, cada cónica es equivalente a cualquier otra, pero la geometría exterior es distinta de la interior.

También se puede clasificar en función de cuántas intersecciones / tangentes reales se obtienen para el proceso de medición descrito anteriormente. Esto describe la medición de distancias y ángulos como elíptica, parabólica o hiperbólica. Esto nos lleva a $3\times3=9$ casos. Pero tres de ellos están cubiertos por el caso 2 anterior, ya que no se obtienen tangentes reales para los puntos del interior, y dependiendo de por dónde pase la recta que une los puntos del exterior se pueden obtener intersecciones reales o no. A modo de comparación, la geometría euclidiana tiene la medida del ángulo elíptico y la distancia parabólica.

Answer 2

Muy bien, lo que he aprendido es que esencialmente me acerqué a las geometrías de Cayley-Klein. Mi acercamiento es lego y bastante combinatorio, pero eventualmente puedo replicar las estructuras geométricas. Lo más útil que obtuve es la comprensión más profunda de las dualidades entre varias geometrías.

Así, en dos dimensiones, tenemos:

Geometría elíptica (mi símbolo EE), que es autodual y cuyo conjunto absoluto es vacío.

Geometría euclidiana y geometría dual euclidiana (símbolos PP;e y EP). La geometría euclidiana tiene la recta como conjunto absoluto, sin puntos especiales en esa recta. La geometría euclídea dual tiene un punto como conjunto absoluto.

Geometría hiperbólica y geometría hiperbólica dual (símbolos HH y EH). Tienen una cónica como conjunto absoluto y difieren en si los puntos reales están dentro o fuera de la cónica. Pueden considerarse autoduales o duales entre sí. La geometría hiperbólica dual tiene distancias imaginarias aparentemente inevitables, lo que significa que es más una geometría del espaciotiempo que una geometría plana.

Geometría galileana (símbolo PP;p). El conjunto absoluto es una línea con un punto "luminoso". Se trata básicamente de una geometría del espaciotiempo en un mundo con velocidad infinita de la luz. Es autodual.

Geometría de Minkowski y su dual (símbolos PP;h y PH). La geometría de Minkowski tiene un conjunto absoluto formado por una línea con dos puntos luminosos que dividen la línea en una parte espacial y otra temporal; la dual tiene un conjunto absoluto formado por dos líneas y su punto de intersección.

Intenté ampliarlo a más dimensiones. Esto es lo que obtuve para tres, el formato es símbolo [ecuación de la superficie cuádrica en $R^4$ ] (conjunto absoluto) ~ geometría dual:

• EEE [ $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1$ ] (conjunto vacío) ~ EEE
• EEP [ $x^2 + y^2 + w^2 = 1$ ] (punto) ~ PPP;ee
• EEH [ $x^2 + y^2 - z^2 + w^2 = 1$ ] (cuádrica no reglada con puntos reales fuera) ~ HHH
• EPP;e [ $x^2 + w^2 = 1$ ] (línea) ~ EPP;e
• PPE;p [ $x^2 + w^2 = 1$ ] (línea con un punto luminoso) ~ PPP;pp
• EPP;h [ $x^2 + w^2 = 1$ ] (línea con dos puntos luminosos) ~ PPH
• EPH [ $x^2 - z^2 + w^2 = 1$ ] (cono con puntos reales fuera) ~ PPP;eh
• EHH [ $x^2 - y^2 - z^2 + w^2 = 1$ ] (cuádrica reglada) ~ EHH
• PPP;ee [ $w^2 = 1$ ] (plano) ~ EEP
• PPP;ep [ $w^2 = 1$ ] (plano con un punto luminoso) ~ PPP;ep
• PPP;eh [ $w^2 = 1$ ] (plano con puntos cónicos luminosos y temporales en el exterior) ~ EPH
• PPP;pp [ $w^2 = 1$ ] (plano con una línea clara) ~ EPP;p
• PPP;ph [ $w^2 = 1$ ] (plano con dos líneas claras) ~ PPP;ph
• PPP;hh [ $w^2 = 1$ ] (plano con puntos cónicos luminosos y temporales en su interior) ~ PHH
• PPH [ $-z^2 + w^2 = 1$ ] (dos planos) ~ EPP;h
• PHH [ $-y^2 - z^2 + w^2 = 1$ ] (cono con puntos reales en su interior) ~ PPP;hh
• HHH [ $-x^2 - y^2 - z^2 + w^2 = 1$ ] (cuádrica no reglada con puntos reales en su interior) ~ EEH

El EPP tiene una línea como conjunto absoluto, y esa línea puede tener una estructura adicional de tres maneras. PPP tiene un plano como conjunto absoluto, y hay seis formas de introducir estructuras ligeras en ese plano. PPP;hh, por ejemplo, conduce a un espacio de Minkowski con dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal; cada punto tendrá líneas luminosas que lo atraviesan y que intersecan el plano ideal en su cónica luminosa, que naturalmente forma el cono luminoso.

Sin embargo, ¿qué ocurre con la geometría PPH? No estoy muy seguro de si se puede subdividir o no.