Relación entre la ecuación de Schrodinger y la cuerda / membrana

Question

En Sakurai de la Moderna Mecánica Cuántica (2ª ed) p.99, dice

Sabemos por la teoría de ecuaciones diferenciales parciales que (independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger) sujeto a límite condición ($\psi(\mathbf{x}')\rightarrow 0$ $|\mathbf{x}'|\rightarrow\infty$) permite soluciones no triviales sólo para un conjunto discreto de valores de $E$. Es en este sentido que la tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger de los rendimientos de la cuantización de la los niveles de energía. Una vez que la ecuación diferencial parcial (independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger) está escrito, el problema de encontrar los niveles de energía de microscópicas de los sistemas físicos, es como sencillo como el de encontrar las frecuencias características de vibración de cuerdas o membranas.

Aunque he encontrado un documento (http://www.scientificexploration.org/journal/jse_21_1_hocking.pdfacerca de esto, la relación aún no es muy explícita. Así que por favor explique brevemente acerca de la relación entre la ecuación de Schrödinger y la cadena/de las membranas? Muchas gracias.

Answer 1

La relación que Sakurai parece estar hablando es de un matemático: tanto el Schr:odinger ecuación de onda de la mecánica y de los modelos de otros sistemas físicos, como las pequeñas vibraciones de una estirada elástica de la membrana, reducir a la solución de autovalor problemas con la elíptica operadores diferenciales.

En la mecánica cuántica configuración, el operador es el de Hamilton, los vectores propios son las soluciones estacionarias, y los valores propios de las energías.

En la vibración de la membrana contexto, el operador es el Laplaciano, los vectores propios son los modos normales, y los valores propios son (menos las plazas de) las correspondientes frecuencias de oscilación.

La física es diferente, y Sakurai no es lo que sugiere que las dos cosas son físicamente relacionadas. Uno de los problemas es "tan sencillo como' el otro porque son matemáticamente estrechamente relacionados.