¿Se puede incrustar una curva bidegree$(3,4)$ en el plano?

Question

Supongamos que$C$ es una curva en$\mathbf{P}^1\times\mathbf{P}^1$ de bidegree$(3,4)$, ¿por qué tal curva no se puede incrustar como una curva en$\mathbf{P}^2$?

Answer 1

La proyección de $C$ en uno de los factores que le da un $3:1$ ramificado, que cubre a $\mathbb P^1$, en otras palabras, una $g^1_3$$C$.
Por otro lado el género de $C$$(3-1).(4-1)=6$.
Ahora, un plano de la curva suave en $\mathbb P^2$ sólo puede tener género $6$ si se tiene un grado de $d$ satisfacción $\frac {(d-1).(d-2)}{2}=6$, en otras palabras, si se tiene un grado $d=5$.
Pero un suave plano de la curva de grado $5$ no es trigonal es decir, no tiene $g^1_3$: véase, por ejemplo, estas notas por Harris, Página 45, la Proposición 7.12.
(Que en realidad demuestra que una curva suave de grado $d$ no puede ser ramificado, cubriendo de $\mathbb P^1$ con menos de $d-1$ hojas)
De ahí el trigonal curva de $C$ no puede ser embebido en $\mathbb P^2$.