sólo una de esas cosas, dado $b_0=1, b_1 = 1,$ y
$$ b_{n+2} = k \, b_{n+1} - b_n, $$
$$ a_n = b_n^2. $$
El paso clave es
$$ b_{n+2} b_n - b_{n+1}^2 = k-2 $$
Vamos a mostrar cómo encaja en: se dice $a_n = b_n^2.$ sabemos $b_{n+2} + b_n = k b_{n+1.}$ Plaza de los dos lados, esto da
$$ b_{n+2}^2 + a_n + 2 b_{n+2}b_n = k^2 a_{n+1}, $$
$$ b_{n+2}^2 + a_n = k^2 a_{n+1} - 2 b_{n+2}b_n, $$
$$ b_{n+2}^2 + a_n = k^2 a_{n+1} - 2 b_{n+2}b_n + 2 b_{n+2}b_n - 2 b_{n+1}^2 - 2 k + 4, $$
$$ b_{n+2}^2 + a_n = k^2 a_{n+1} - 2 b_{n+1}^2 - 2 k + 4, $$
$$ b_{n+2}^2 + a_n = k^2 a_{n+1} - 2 a_{n+1} - 2 k + 4, $$
$$ b_{n+2}^2 + a_n = (k^2 -2) a_{n+1} - 2 k + 4, $$
$$ b_{n+2}^2 = a_{n+2}. $$
A su vez, $ b_{n+2} b_n - b_{n+1}^2 = k-2 $ proviene de una norma cuadrática formas de construcción. Consideramos que la forma cuadrática $f(x,y) = x^2 - kxy + y^2.$ de Su matriz Hessiana es
$$
H =
\left(
\begin{array}{rr}
2 & -k \\
-k & 2
\end{array}
\right)
$$
Definimos una matriz de $A$ ("automorphism") como
$$
A =
\left(
\begin{array}{rr}
k & -1 \\
1 & 0
\end{array}
\right).
$$
La palabra significa automorphism
$$ A^T H A = H. $$
A su vez, a partir de la observación de que
$$
\left(
\begin{array}{c}
b_{n+2} \\
b_{n+1}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rr}
k & -1 \\
1 & 0
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
b_{n+1} \\
b_n
\end{array}
\right)
$$
nos encontramos
$$ b_{n+2}^2 - k b_{n+2} b_{n+1} + b_{n+1}^2 = b_{n+1}^2 - k b_{n+1} b_{n} + b_{n}^2, $ $ , de modo que
$$ b_{n+1}^2 - k b_{n+1} b_{n} + b_{n}^2 $$ is independent of $$ n y constante.
De $b_1$ $b_0$ encontramos
$$ b_{n+1}^2 - k b_{n+1} b_{n} + b_{n}^2 = 2-k. $$
Finalmente
$$b_{n+2} b_n - b_{n+1}^2 = (k b_{n+1} - b_n) b_n - b_{n+1}^2 = - b_{n+1}^2 + k b_{n+1} b_n - b_n^2 = -(2-k) = k-2 $$
Le pregunté a la cooperativa para el origen del problema, resulta que la parte acerca de la definición de $b_n$ fue la sugerencia dada; ejercicio 24. El ejercicio (revisión?) pdf es en PDF
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