¿Por qué se define$\lim_{n\to\infty} 2^n \Psi\left(\frac{r}{2^n}\right)=0$ para alguna función específica$\Psi$ definida en la pregunta?

Question

Esto viene de la prueba del primer teorema en este artículo del blog.

Los caminos $x:[0,T]\to\mathbb{R}^d$ $y:[0,T]\to\mathbb{R}^{e\times d}$ son de limitada variación total. Los números reales $p,q>1$ son tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>1$. Finalmente, $0\leq s\le t\leq T$.

Tenemos las siguientes definiciones: $$\theta := \frac{1}{p}+\frac{1}{q}.$$ $$\omega(s,t):=\|x\|_{p\text{-var}[s,t]}^{1/\theta}\|y\|_{q\text{-var}[s,t]}^{1/\theta}.$$ $$\omega_{\epsilon}(s,t) := \omega(s,t)+\epsilon\left(\|x\|_{1\text{-var}[s,t]}+\|y\|_{1\text{-var}[s,t]}\right).$$ $$\Gamma_{s,t}=\int_s^t(y(u)-y(s))\mathrm{d}x(u).$$ $$\Psi(r) := \sup_{s,u,\omega_{\epsilon}(s,u)\leq r}\|\Gamma_{s,u}\|.$$

Se afirmó entonces que

$$2^n \Psi\left(\frac{r}{2^n}\right)\xrightarrow{n\to\infty}0.$$

Puedo ver que para cualquier fijo $r$, $\Psi\left(\frac{r}{2^n}\right)$ va a $0$ $n$ va al infinito, como $\omega$ es continua y $\omega(s,s)=0$. Pero $2^n$ va al infinito, así que ¿cómo sabemos que $\Psi\left(\frac{r}{2^n}\right)$ va a cero más rápido que $2^n$ va al infinito?

Answer 1

No profundicé en los detalles, pero parece que el autor prueba que $$ \ | \ Gamma_ {s, t} \ | \ le \ frac {1} {\ varepsilon ^ 2} \ omega _ {\ varepsilon} (s, t) ^ 2. $$ En consecuencia, $$ \ Psi (r) = \ sup_ {s, u: \ omega _ {\ varepsilon} (s, u) \ leq r} \ | \ Gamma_ {s, u} \ | \ le \ frac { 1} {\ varepsilon ^ 2} \ sup_ {s, u: \ omega _ {\ varepsilon} (s, u) \ leq r} \ omega _ {\ varepsilon} (s, u) ^ 2 \ le \ frac {r ^ 2} {\ varepsilon ^ 2}. $$ Por lo tanto, $$ 2 ^ n \ Psi \ left (\ frac {r} {2 ^ n} \ right) \ le \ frac {r ^ 2} {\ varepsilon ^ 2 2 ^ n} \ a 0, \ n \ a \ infty. $$