Estoy interesado en probar o refutar la siguiente reclamación y estoy atascado.
Podemos definir una serie de funciones con las siguientes propiedades.
Para cada una de las $i\in \mathbb{N}$ deje $f_i\colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ ser tal que para todos los $t\in\mathbb{R}^+$ tenemos $f_i(t)\in \mathcal{l}_2$, (también podemos suponer que cada una de las $f_i$ es continua, pero prefiero no hacerlo). Además suponga que $\sup_{t\in\mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty (f_i(t))^2 = M < \infty$. Por lo que el $L_\infty$ norma de la $\mathcal{l}_2$ norma es finito. Deje $\{\lambda_i\}_{i=1}^\infty\subset \mathbb{R}^+$ ser positiva, creciente y no acotada de la secuencia de los números reales. También sabemos que $1/\lambda_i\in \mathcal{l}_2$, Finalmente se define una nueva secuencia de la función $u_i\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$
$$u_i(t) = \int_{\tau = 0}^t \lambda_i \exp(-\lambda_i(t-\tau))f_i(\tau) \mathrm{d} \tau $$
A continuación, el $L_\infty$ norma de la $\mathcal{l}_2$ norma de $u_i(t)$ es también finito.
Los siguientes son un par aparentemente termina muerto me han perseguido. Yo incluyen incluso el trivial pasos, así que espero es claro que las manipulaciones que se hacen. Yo nunca uso ese $1/\lambda_i\in \mathcal{l}_2$
Dead end #1
$$ \begin{align*}\sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty (\, f_i(t)\, )^2 &= \sup_{t\in\mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \left( \int_{\tau=0}^t \lambda_i \exp(-\lambda_i (t-\tau) )f_i(\tau) \mathrm{d} \tau \right)^2\\ &\le \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left(\sup_{\tau\in (0,t)} f_i(\tau)^2 \right) \left(\int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i( t-\tau) ) \mathrm{d} \tau \right)^2 \\ &=\sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left(\sup_{\tau\in (0,t)} f_i(\tau)^2 \right) \left(\int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i(\tau) ) \mathrm{d} \tau \right)^2 \\ &\le \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left(\sup_{\tau\in (0,t)} f_i(\tau)^2 \right) \left(\int_{\tau=0}^\infty \exp(-\lambda_i(\tau) ) \mathrm{d} \tau \right)^2 \\ &\le \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \left(\sup_{\tau\in (0,t)} f_i(\tau)^2 \right) \\ \end{align*} $$
Me gustaría ir a partir de esta última línea para $$ \sup_{t\in \mathbb{R}^+}\sum_{i=1}^\infty f_i(t)^2, $$ the desired inequality, but that does not follow. As the supremums of each $f_i$ might not be in $\mathcal{l}_2$ even though at every $t$, $f_i(t)\in \mathcal{l}_2$.
Dead end #2. Aquí me asumir la continuidad de la $f_i$ 's y el uso de la positividad de la exponencial para aplicar el valor medio teorema para las integrales, para producir un $\widehat{\tau}_i$.
$$ \begin{align} \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \left( f_i(t) \right)^2 &= \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left( \int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i (t-\tau) f_i(\tau) \mathrm{d} \tau \right)^2\\ &= \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left( \int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i (\tau) f_i(t-\tau) \mathrm{d} \tau \right)^2\\ &= \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 f_i(\widehat{\tau}_i)^2 \left(\int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i \tau)\, \mathrm{d} \tau \right)^2\\ &\le \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty f_i(\widehat{\tau}_i)^2 \lambda_i^2 \left(\int_{\tau=0}^\infty \exp(-\lambda_i \tau) \, \mathrm{d}\tau \right)^2\\ &= \sup_{t\in \mathbb{R}^+} \sum_{i=1}^\infty f_i(\widehat{\tau}_i)^2 \end{align} $$
Ahora tenemos más o menos el mismo problema que antes. No podemos concluir el deseado desigualdad porque no sabemos que $f_i(\tau_i)\in \mathcal{l}_2$.
Agradezco cualquier ayuda. Parece que necesito algún tipo de media teorema del valor de sumas ponderadas. Quiero decir, si podríamos concluir que
$$ \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 \left( \int_{\tau = 0}^t \exp(-\lambda \tau) f_i( t-\tau)\, \mathrm{d} \tau\right)^2 = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^2 f_i(\widehat{\tau})^2 \left(\int_{\tau=0}^t \exp(-\lambda_i \tau) \, \mathrm{d} \tau\right)^2 $$ para algunos $\widehat{\tau}$ (independiente de $i$) el resultado deseado seguiría. Existe un valor medio teorema? Cualquier ayuda y las ideas son apreciados.
Editado: TeX correcciones
@ David Ullrich Para ser honesto, no estoy familiarizado con la idea de $L_2$ módulo de continuidad. Me podría decir una definición? Se los agradezco.
@ David Ullrich: Gracias. Quiero aceptar tu respuesta, pero no tengo la caja verde de la muestra. Realmente lo aprecio. Voy a averiguar cómo aceptar la respuesta. Me gustó mucho tu contraejemplo. Gracias de nuevo.
