Innecesario de la propiedad en la definición de espacio topológico

Question

Un conjunto $X$ con un subconjunto $\tau\subset \mathcal{P}(X)$ es llamado un espacio topológico si:

1. $X\in\tau$ $\emptyset\in \tau$.
2. Deje $L$ ser cualquier conjunto. Si $\{A_\lambda\}_{\lambda\in L}=\mathcal{A}\subset\tau$$\bigcup_{\lambda\in L} A_\lambda\in\tau$.
3. Deje $M$ conjunto finito. Si $\{A_\lambda\}_{\lambda\in M}=\mathcal{A}\subset\tau$$\bigcap_{\lambda\in M} A_\lambda\in\tau$.

Deje $\emptyset=\mathcal{A}=\{A_\lambda\}_{\lambda\in N}$, yo.e $N=\emptyset$. Luego por 2:

$$\bigcap_{\lambda\in N} A_\lambda=\{x\in X; \forall \lambda\in N\text{ we have }x\in A_\lambda\}=X\in\tau,$$

desde $N$ está vacía. Y por 3:

$$\bigcup_{\lambda\in N} A_\lambda=\{x\in X; \exists \lambda\in N\text{ such that }x\in A_\lambda\}=\emptyset\in\tau,$$

desde $N$ está vacía. A continuación, 2 y 3 implica 1.

Muchos libros de definir una topología con 1,2 y 3. Pero creo que 1 no es necesario porque yo era demostrar que el 2,3 $\Rightarrow$ 1.

Estoy en lo cierto?

Answer 1

El problema es que como usted formular $\bigcap\varnothing$ es el conjunto de todos los elementos de la $x\in X$ por cada $A\in\varnothing$ tenemos $x\in A$, esto es satisfecha por todos los elementos de a $X$.

Tenga en cuenta que $\bigcup\varnothing$ está bien definido en ZF desde el axioma de la unión dice que es un conjunto, y podemos probar que este conjunto es, de hecho,$\varnothing$. Sin embargo $\bigcap\varnothing$ no está bien definido, porque como les comente anteriormente, puede resultar con la colección de "todo", lo que en teoría de conjuntos no es un conjunto de todo, y en este caso - ni siquiera vacío.

Answer 2

Sí, tienes razón. Sin embargo, es más conveniente incluir (1). En primer lugar, el hecho de que $\varnothing$ $X$ están abiertos de conjuntos es lo suficientemente importante como para ser la pena destacar. En segundo lugar, muchas personas son un poco incómodos con la unión o la intersección de una colección vacía, al igual que muchos están un poco incómodo con la suma o el producto de los vacíos de la colección de los números reales. Si se incluyen (1) como parte de la definición, usted no tiene que lidiar con esta dificultad. Esto es especialmente importante cuando estás enseñanza primaria topología: la mayoría de los estudiantes en la etapa en la que definitivamente tiene problemas con la unión y la intersección de una colección vacía.

Corrección: se me ha invertido una negación mentalmente cuando pensé en la primera vez. Estás en lo correcto acerca de la $X$, pero no se trata de $\varnothing$. Deje $S=\{x\in X:\forall A\in\varnothing(x\in A)\}$; a continuación, $S$ se $X$, no $\varnothing$. Para ver esto de manera informal, pregúntese cómo podría haber un $x\in X\setminus S$: no tendría que ser un $x\in X$ tal que $\exists A\in\varnothing(x\notin A)$. Pero no hay ninguna $A\in\varnothing$, por tanto no se $x$, e $S=X$. (Y ahora veo que Asaf ya ha señalado en su respuesta.)

Answer 3

No sé si todavía hay interés en este hilo, pero voy a responder de todos modos.

Como Asaf señala, $\bigcap \emptyset$ puede no existir, y ciertamente no es igual a $X$. El problema se produce porque los subconjuntos no recordar las más grandes que se habían reducido. Sin embargo, esto es un capricho de cómo los subconjuntos definidos. Y, el problema puede ser evitado por redefinir el significado de "subconjunto." Esto nos permitirá reescribir la definición de un espacio topológico.

En primer lugar, permite acuerdan que por "función", nos referimos a una orden de triple $(f,X,Y)$. Entonces podemos definir que un subconjunto de a $X$ es una función de $A : X \rightarrow 2,$ donde $2 = \{0,1\}.$

Ahora un poco de notación. Como abreviación $A(x)=1$, permite escribir $x \propto A,$ que se puede leer "$x$ es un elemento de $A$."

Permite también escribir $A \diamond X$ significa que $A$ es un subconjunto de a $X$. Tenga en cuenta que el subconjunto relación ya no es transitiva, por lo que también necesitamos una contención de la relación. Así que si $A,B \diamond X$, permite escribir $A \subseteq B$ para significar que para todos los $x \in X$ sostiene que si $x \propto A$,$x \propto B$.

También, permite escribir $2^X$ para el powerset de $X$. Formalmente, definimos $$2^X := \{A : X \rightarrow 2 | A \mbox{ is a function}\}.$$

Por lo tanto $A \diamond X$ si y sólo si $A \in 2^X$.

Por último, permite escribir $A = \{x \in X | P(x)\}$ para significar que $A \diamond X$, $x \propto A$ fib $P(x)$.

Dadas estas convenciones, podemos definir la intersección de $\mathcal{A} \diamond 2^X$ como sigue.

$$\bigcap \mathcal{A} = \{x \in X|\forall A \propto \mathcal{A} : x \propto A\}$$

Los sindicatos pueden ser definidas de manera similar.

Finalmente, la rentabilidad: dejar a $\bot$ denotar el menor subconjunto de $2^X$, y dejando $\top$ denotar el mayor subconjunto de $X$, vemos que

$$\bigcap \bot = \top.$$

Ahora estamos en una posición para reescribir la definición de un espacio topológico.

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Un conjunto $X$ con un subconjunto $\tau \diamond 2^X$ es llamado un espacio topológico si:

1. Para todos los $\mathcal{A} \subseteq \tau$ sostiene que $\bigcup \mathcal{A} \propto \tau$.

2. Para todos finito $\mathcal{B} \subseteq \tau$ sostiene que $\bigcap \mathcal{B} \propto \tau$.