¿Cuántos enteros menos que $1000$ puede expresarse en la forma $\frac{(x + y + z)^2}{xyz}$ ?

Question

¿Cuántos enteros menos que $1000$ puede expresarse en la forma $$\frac{(x + y + z)^2}{xyz}$$ donde $x, y, z$ son enteros positivos?

Answer 1

Hay que comprobar si la pregunta se limita a los números enteros positivos $x, y, z$ De lo contrario, es bastante trivial obtener cualquier número deseado.

Para el cero, toma $x = 2, y =-1, z = -1$ .

Para cualquier número positivo $N$ , toma $x = -N, y = 1, z = -1$ .

Para cualquier número negativo $-N$ , toma $x = N, y = 1, z = -1$ . Es evidente que todos los números negativos son menores que $1000$ así que tienes un número infinito de ellos.

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Añadido para la pregunta revisada, con sólo un resultado positivo $x, y, z$ .

WLOG, podemos suponer que $x \ge y \ge z$ . A partir de todas las triplas que satisfacen $\displaystyle \frac{(x+y+z)^2}{xyz} = n$ , donde $n$ es un número entero positivo fijo, elija el triple $(a, b, c)$ con el primer componente mínimo. Ahora tenemos la cuadrática $$x^2 +(2(b+c)- nbc)x + (b+c)^2 = 0 \tag{1}$$ para lo cual $a$ es una raíz, y que la otra raíz sea $\alpha$ . Como $a \alpha = (b+c)^2$ , $\alpha > 0$ y de nuestra elección del triple, $\alpha \ge a \ge b \ge c$ .

Tenemos $(b+c)^2 = \alpha \,a \ge \alpha (b+c)/2 \implies \alpha \le 2(b+c)$ .
También tenemos $a^2 \le a\alpha = (b+c)^2$ Así que $a \le b+c$ . Utilizando estos en la fórmula de la suma de raíces, $nbc - 2(b+c) = \alpha+a \le 3(b+c)$ da $n bc \le 5(b+c)$ . Como $b, c$ son enteros positivos, $$\implies n \le 5\left(\frac1c + \frac1b\right) \le 10 \tag{2}$$

Esto nos da un límite para restringir nuestra búsqueda. Se observa fácilmente que para $n = 10$ el límite $(2) \implies b = c = 1$ lo que lleva a la cuadrática $(1): x^2 -6x+4=0$ que no tiene raíces enteras.

Una búsqueda rápida (bueno, fue rápida en Mathematica) arroja soluciones para $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ - por ejemplo, en orden, $(9, 9, 9), (9, 6, 3), (3, 3, 3), (4, 2, 2), (9, 5, 1), (3, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 1)$ .

Para $n=7$ tenemos $(2) \implies \frac75 \le \frac1b + \frac1c$ para el que las únicas soluciones enteras positivas ordenadas posibles son $b=c=1$ y $b=2, c=1$ . En el primer caso tenemos la cuadrática $x^2 - 3x + 4=0$ que no tiene raíces reales, y el segundo caso da la cuadrática $x^2 - 8x + 9 = 0$ que no tiene raíces enteras.

Por lo tanto, sólo hay $8$ posibles enteros que se pueden expresar como se desee.