Casi seguro convergencia de la media armónica.

Question

Dejar $X_1,...,X_n \sim Uniform(0,1)$. La media armónica se define como:

$H_n = \frac {n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}}$

Encuentra como límite de esto como$n \rightarrow \infty$

Ya resolví el problema para los medios aritméticos y geométricos que se basaban en los teoremas de SLLN y CMP. En el caso de la media armónica, la expectativa de$1/X_i$ es infinita, por lo que no puedo usar SLLN. Siento que el límite debería ser 0 pero estoy perdido.

Answer 1

Primaria pointwise comparación va a hacer...

Para cada positivos $t$ y cada $n$, $H_n\lt H_n^{(t)}$ donde $$ \frac1{H_n^{(t)}}=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{X_n+t}. $$ Por el SLLN, $H_n^{(t)}\to h_t$ casi seguramente al $n\to\infty$, donde $$ \frac1{h_t}=E\left[\frac1{X_1+t}\right]. $$ Por lo tanto, para cada positivos $t$, casi seguramente, $$ \limsup_{n\to\infty}H_n\leqslant h_t. $$ Desde $1/X_1$ no es integrable, $h_t\to0$ al $t\to0$, por lo tanto, casi seguramente, $$ \limsup_{n\to\infty}H_n\leqslant0. $$ Dado que todos los $H_n$ es no negativa con total probabilidad, esto demuestra que $H_n\to0$ con total probabilidad.

Answer 2

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