Tengo un par de soluciones para esto, pero tanto el uso de la construcción de filtrado colimits. Yo no era capaz de hacerlo usando las propiedades universales solo.
Te voy a mostrar un poco más general, que, si $M$ $R$- módulo, a continuación, $S^{-1}M = \mathrm{colim}_I F$ donde $F$ es el functor de $I$ a $R$-módulos que $F(s)$ $M$ todos los $s \in I$ y el mapa de $F(s) \to F(t)$ inducida por algunos $u \in \mathrm{Hom}_I(s, t)$ es la multiplicación por $u$ el mapa de la $M$. Recordemos que
$$ \mathrm{colim}_I F = \left( \coprod_{s \in I} M \right)/\sim $$
donde si $(m, s) \in \coprod_{s \in I} M$, la relación de equivalencia identifica a $(m,s)$ $(um, us)$ todos los $u \in S$. Yo creo que ya has logrado mostrar que los mapas de $F(s) \to S^{-1}M$ $m \mapsto m/s$ definir una co-cono sobre $F$ y por lo tanto no es una forma inducida por el mapa de $\phi : \mathrm{colim}_I F \to S^{-1} M$. Es dado por la asignación de la clase de equivalencia de a $(m, s) \in \coprod_{s \in I} M$ en el colimit a $m/s \in S^{-1} M$. Queremos mostrar que este es un isomorfismo.
Enfoque 1. Podemos mostrar que $\phi$ es surjective y inyectiva. Desde nuestra fórmula para $\phi$ es obvio que es surjective. Para la inyectividad, se observa que la si $(m, s) \in \mathrm{colim}_I F$ es tal que $\phi(m, s) = m/s = 0$, entonces no existe $u \in S$ tal que $um = 0$. Pero, a continuación, $(m, s)$ se identifica con $(um, us) = 0$ en el colimit, así que esto demuestra que el núcleo de $\phi$ es trivial.
Enfoque 2. Podemos utilizar la característica universal de $S^{-1}M$ a la construcción de un inversa mapa. Esta característica universal de los estados que, dado cualquier morfismos $\alpha : M \to N$ a una $R$-módulo de $N$ tal que la multiplicación por cualquier $u \in S$ es un automorphism de $N$, no existe un único mapa $\psi : S^{-1}M \to N$ tal que $\psi \circ \sigma = \alpha$ donde $\sigma : M \to S^{-1}M$ es el universal mapa de $m \mapsto m/1$. Ahora definitivamente tenemos un mapa de $\alpha : M \to \mathrm{colim}_I F$$m \mapsto (m, 1)$. También, se observa que la si $u \in S$, la multiplicación por $u$ mapa de $(m, s) \mapsto (um, s)$ es de hecho un automorphism, cuya inversa es el mapa $(m, s) \mapsto (m, us)$. Así obtenemos un único morfismos $\psi : S^{-1}M \to \mathrm{colim}_I F$ tal que $\psi \circ \sigma = \alpha$. Creo que ahora se puede comprobar el uso de la singularidad afirmaciones de las propiedades universales de $\mathrm{colim}_I F$ e de $S^{-1}M$ que debemos tener $\psi \circ \phi = 1$$\phi \circ \psi = 1$. Como alternativa, más concretamente, aviso que $\psi$ está dado por la asignación de $m/s \in S^{-1} M$ a la imagen de de $(m,1)$ bajo la inversa de la multiplicación por $s$ mapa, que vimos anteriormente es exactamente $(m, s)$. En otras palabras, $\phi(m/s) = (m, s)$, y su evidente a partir de esta fórmula que $\phi$ $\psi$ son inversas una de la otra.
