Creo que esto es más de un comentario porque no creo que realmente entiendo tu pregunta, pero es mucho tiempo así que voy a publicar como una respuesta. Voy a borrar si parece que yo estaba completamente en el camino equivocado.
La forma en que usted está explicando la pregunta no tiene sentido con lo que yo pienso acerca de QFT. $\phi$ es un operador de valores de campo. El espacio que $\phi$ opera es el espacio de hilbert, y no podemos decir que el espacio-tiempo de los puntos en el espacio de hilbert son como el espacio, separados o no, porque no están en el espacio de los puntos de tiempo; son puntos en el espacio de hilbert.
Ahora, permítanme hacer algunas observaciones acerca de la notación. Puntos en el espacio de hilbert son normalmente representados por las tfe. Vamos a escribir su $f$$g$$|f\rangle$$|g \rangle$. Esto es más notación estándar. Para escribir la operación de $\phi$, ket habitual de uso de la yuxtaposición, de modo que podemos escribir $\phi |f\rangle$. Para expresar la dependencia de la $\phi$ sobre el espacio-tiempo de coordenadas, podemos utilizar paréntesis. De manera que el operador $\phi$ en el espacio-tiempo del punto de $x$ escrito $\phi(x)$.
La declaración de "localidad" que estoy acostumbrado (me han llamado la causalidad) es en realidad el operador de la ecuación de $\phi(x) \phi(y) = \phi(y) \phi(x)$ siempre $x$ es como el espacio, separado de $y$. Otra forma de escribir la ecuación es $[\phi(x), \phi(y)]=0$.
Tal vez usted está tratando de una forma más complicada noción de un QFT donde $\phi$ es un campo en $C{^\infty _0 }_{real}$. Es este el caso? Este es el punto principal que me daba curiosidad.
Anway, tu pregunta es ¿cómo puedo hacer sentido de lo que significa para los dos puntos de tiempo a ser como el espacio separados. Aquí está una pregunta relacionada con este sitio web, y también puede referirse a un artículo en la wikipedia. Para dos puntos a ser como el espacio separado, tienen que estar fuera del cono de luz. Vea los vínculos para obtener más detalles.
Si los campos son realmente supone ser definido en $C{^\infty _0 }_{real}$, entonces no sé qué esperar de los apoyos para parecer porque no tengo ninguna experiencia con este. Supongo que diciendo que la ayuda es como el espacio, separados sólo significa que hay para todos los pares de puntos con uno en cada apoyo que son como el espacio separados.
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Ok he leído el pdf y vi lo que él hizo. Él está usando $\phi(f)$ como una abreviación de $\int \phi(x) f(x) dx$. Yo creo que él prefiere tratar con $\phi(f)$ $\phi(x)$ porque él está tratando de ser matemáticamente riguroso, y esto $\phi(f)$ notación será conveniente para ese propósito.
De todos modos su $[\phi(f),\phi(g)]=0$ condición es equivalente a la mi $[\phi(x),\phi(y)]=0$ condición.
Para ver el avance implicación tome $f(x')=\delta(x'-x)$$g=\delta(y'-y)$. A continuación, $f$ $g$ son spacelike separados si $x$$y$. Por lo tanto si $x$ $y$ son como el espacio separado, a continuación,$[\phi(f),\phi(g)]=0$, por otro lado, $\phi(f)=\int \phi(x') f(x') dx'=\int \phi(x') \delta(x'-x) dx' = \phi(x)$, y de manera similar a $\phi(g)=\phi(y)$. Así tenemos que el $[\phi(x),\phi(y)]=0$.
Para obtener la dirección inversa, a ver que $$[\phi(f),\phi(g)]=[\int \phi(x') f(x') dx',\int \phi(y') g(y') dy']=\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy$$. Now if $f$ and $g$ are spacelike separated, then the only times that $f(x')$ and $g(y')$ are both nonzero are when $x'$ and $s'$ are spacelike separated, but then $[\phi(x'),\phi(y')]=0$, so we conclude that $\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy=0$. Esto demuestra la otra dirección.
Por lo tanto para tener una intuición de lo que significa, es suficiente para pensar acerca de la condición en un solo punto. Usted puede leer la parte de la respuesta por encima de las ediciones para ver lo que significa para dos puntos a ser spacelike separados. Supongo que para ser matemáticamente riguroso, que necesita el estado de la condicionalmente formalmente en términos de esta $\phi(f)$.
