Si el número complejo Z satisface$|Z^2 - 9| + |Z^2| = 41$, entonces las afirmaciones verdaderas entre las siguientes son:

Question

Si el número complejo Z satisface $|Z^2 - 9| + |Z^2| = 41$, entonces la verdad de las declaraciones entre los siguientes son ?

$A)$ $|Z+3| + |Z-3| = 10$
$B)$ $|Z+3| + |Z-3| = 8$
$C)$ Valor máximo de $|Z|$ $5$
$D)$ Valor máximo de $|Z|$ es de 6

(Más de una opción puede ser la correcta)

La inicial de la ecuación en la pregunta indica el hecho de que el locus de $Z^2$ es una elipse con focos en $0$$9$. Pero esto no ayuda mucho.

Si ponemos $Z = x + iy$ y simplificar. Se obtiene una elipse en $Z$. Llego $99y^2 + 63x^2 = 1600$ (pero puede ser incorrecta). ¿Cómo debo proceder de aquí para validar cualquiera de esas opciones?

No parece existir una manera mucho más sencilla de resolver esta cuestión.
Toda la ayuda será apreciada.

Answer 1

Deje$z=Z^2$ y la ecuación se convierte en$$ |z-9|+|z|=41 \tag{1}, que es una elipse cuyos focos son$(0,0)$ y$(9,0)$. Tenga en cuenta que$|z|$ alcanza su máximo cuando$z$ es real y al usar esto, es fácil ver$\max|z|=25$ y, por lo tanto,$\max|Z|=5$. Por lo tanto (C) es la respuesta.

También puede usar el siguiente método: Permitir que$z=x+yi$ y$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$. Entonces (1) se convierte en $$\sqrt{r^2-18r\cos\theta+81} +r=41$ $, lo cual se refleja$$ r^2-r^2-18r\cos\theta+81=(41-r)^2. . A partir de esto, uno tiene$$ r=\frac{1600}{2(41-9\cos\theta)} \tag{2}. Claramente si$\cos\theta=1$,$r$ alcanza el máximo$5$ o$\max|z|=25$. Asi que $\max|Z|=5$.

Answer 2

La otra respuesta afirma que C es la única respuesta, pero esto no es cierto. Para investigar A y B, toma el cuadrado de$(|z-3|+|z+3|)$ y ve lo que obtienes:

$$(|z-3| + |z+3|)^2 = |z-3|^2 + |z+3|^2 + 2|z^2-9| desde$|z-3|\cdot |z+3| = |(z-3)(z+3)| = |z^2-9|$. Siguiente$|z-3|^2 + |z+3|^2 = 2|z|^2 + 2\cdot 3^2$ por la ley de paralelogramo

PS

Esto demuestra que A también es una respuesta.