¿Por qué estudiar las dimensiones?

Question

Yo soy bastante nueva en el foro así que por favor siéntase libre de corregir y/o punteros si estoy publicando algo en el lugar equivocado.

He estado hojeando la Dimensión "Teoría" de Witold Hurewicz & Henry Wallman y mientras lo hacía se dio cuenta que no podía ver la razón para "estudiar/investigar a" la dimensión de la teoría. Como estudiante de pregrado cuando me enseñaron el concepto de dimensión en términos de "independencia lineal' y 'abarca' de vectores nunca he prestado mucha atención a alterno/analítica formulaciones de dimensión. Ahora bien, habiendo llegado a través de, digamos, la Hausdorff, Fractal, Assouad dimensiones soy curioso en cuanto a por qué los matemáticos se han centrado mucho en esta avenida.

Yo sería muy, muy agradecido por los punteros o enlaces que me puede dar un poco de 'general' de la motivación para el estudio de las dimensiones del yo.e ¿por qué estudiar la dimensión de la teoría. Ejemplos específicos de los sistemas dinámicos, la métrica de la geometría, teoría de números, teoría de conjuntos et cetera son muy bienvenidos.

Gracias, muchas gracias!

P. S las etiquetas podrían ser un poco más el lugar - no podía crear nuevas métricas de la geometría y dimensión de assouad.

Answer 1

Tamaño, contraria a la común adagio, es muy importante. La medición de cómo de grandes son las cosas es una muy elemental y útil la práctica de matemáticas. Por ejemplo, dado un conjunto $A$ que es un subconjunto de a $B$, si usted puede demostrar que el tamaño de $B$ es estrictamente mayor que el de $A$, entonces se puede concluir que hay algo en $B$ que no está en $A$. Esto es algo que hacemos todo el tiempo. Un ejemplo notable es el Cantor de la prueba de la existencia de trascendental números, donde se puede demostrar que la cardinalidad de los números algebraicos es estrictamente menor que la cardinalidad de los números reales, y por lo tanto a la conclusión de que trascendental de números que existen. Este ejemplo muestra que es útil ser capaz de medir cómo de grandes son las cosas, incluso más allá de la esfera de la discreta finita de conjuntos.

Así, cuando se le presenta un objeto que usted debe preguntarse "¿cómo es de grande?". A veces la respuesta es obvia, pero a menudo no es aún claro cómo medir el tamaño de un objeto dado. También, las diferentes perspectivas pueden dictar las diferentes nociones de tamaño. En cualquier caso, podemos medir cómo de grandes son las cosas, ya que nos ayuda a comparar a otras cosas y razonar sobre ellos. Y ese principio vale para los objetos topológicos. Diferentes formas de medir el tamaño de un objeto geométrico puede dar diferentes respuestas, y proporcionan diferentes propiedades, y por lo tanto nos enseñan varias cosas sobre el objeto dado. Dimensión de la teoría en la topología\geometría es el equivalente a contar. Tanto contar y dimensión de la teoría son importantes por razones similares.

Answer 2

"Topológica de dimensión", como se define por Hurewicz y Wallman es un invariante topológico que le permite demostrar que muchos pares de espacios no son homeomórficos el uno al otro.

Por ejemplo, ¿por qué se $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$ no homeomórficos?

La peatonal respuesta es: $\mathbb{R}$ está separado por la eliminación de cualquier punto, mientras que $\mathbb{R}^2$ no lo es.

Pero puede generalizar: ¿por Qué se $\mathbb{R}^m$ $\mathbb{R}^n$ no homeomórficos al $m \ne n$?

Para obtener una respuesta general, el retorno para el caso especial y refundición en términos de la dimensión de la teoría:

• $\mathbb{R}$ tiene dimensión $1$ (debido a que un punto separa, en el hecho de que cada punto localmente separa, que es cómo la dimensión 1 se define en algunos tratamientos; creo que el Hurewicz y Wallman definición se encuentra cerca de este, pero tal vez no es exactamente el mismo)
• pero $\mathbb{R}^2$ no tiene dimensión $1$.
• y de la dimensión "1" es un invariante topológico.

En general, la dimensión topológica es un invariante asignados a espacios topológicos cuyo valor es un entero no negativo o $\infty$. Homeomórficos espacios debe tener la misma dimensión topológica. El uso de ella, la prueba de que $\mathbb{R}^n$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^m$ al $n \ne m$ es que la dimensión de $\mathbb{R}^n$ es igual a $n$, mientras que la dimensión de $\mathbb{R}^m$ es igual a $m$ (estos deben ser verificados, por supuesto).

Usted ha mencionado un par de otros tipos de dimensión en su pregunta, y cada uno de ellos es un importante invariante en un contexto diferente. Por ejemplo, la dimensión fractal o "dimensión de Hausdorff" supongo que quieres decir, es un valor real de bi-Lipschitz invariantes de la métrica de los espacios. La dimensión de Hausdorff es lo que me gustaría utilizar para probar que el medio tercios conjunto de Cantor no es bi-Lipschitz equivalente a la de todos los otros quintos conjunto de Cantor, porque sus Hausdorff dimensiones se $\log(2)/\log(3)$$\log(3)/\log(5)$, respectivamente, y estos números no son iguales.