pequeño círculo dentro de la incrustación de grafo completo en el plano

Question

En la web, me encontré con este hermoso dibujo del grafo completo el 13 de vértices:

Es en la Geometría del Diario página de tumblr. Un científico de la computación dibujó una versión más interactiva de hasta 40 vértices.

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Una manera de pensar es que las raíces complejas de la unidad $V = \{ e^{2\pi i k/3}: 0 \leq k < 13 \}$ y todas las líneas entre ellos

\[ \ell_{a,b} = \big\{ t e^{2\pi i /13} + (1-t) e^{2\pi i b /13}: 0 < t < 1 \big\} \]

Oops! Esto no es un grafo completo, ya que nos estamos perdiendo $\ell_{k, k+1}$. Hay un nombre para este nuevo gráfico y su realización en $\mathbb{R}^2$.

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Me gustaría saber lo que se ha dicho acerca de esta incrustación. En el medio, por extraño $n$ definitivamente hay un círculo. La envolvente de las líneas de $\ell_{k, k+6}, \ell_{k+6, k+12}, \dots$

De hecho, un círculo para cada sucesión aritmética $C_{k,d} = \text{envelope} \{ \ell_{k, k+d}, \ell_{k+d, k+2d}, \dots \}$

Estas son las órbitas de billar en el círculo o algo.

¿Cuáles son los radios de los círculos como una función del número de puntos?

Answer 1

Considere la posibilidad de la $n$th raíces de la unidad, como los vértices de nuestro grafo completo. Considere el triángulo formado por unirse a un vértice a los dos vértices justo enfrente de ella, que nos llame a este triángulo de una cuña.

Tenga en cuenta que esto es sólo para los impares $n$, incluso para $n$ el triángulo es degenerado, ya que cada vértice tiene un socio justo enfrente. El círculo más pequeño, no está presente incluso para $n$, en su lugar tenemos un círculo grande, considerando los triángulos que se forman al unirse cada uno de los vértices a los que se anexa a la que se enfrente. En el mismo sentido, $n$ se hace más grande, es fácil ver que se forman varios círculos concéntricos uniendo sucesivamente más aparte de los vértices. No vamos a manejar estos casos aquí, pero el análisis es similar.

De vuelta a nuestro problema a la mano. Deje que nosotros nos limitamos a odd $n$. Por la simetría del círculo está centrado en el origen. Los bordes de la cuña son precisamente las tangentes del círculo, por lo que el problema se reduce a encontrar el más cercano de distancia de los bordes del origen. Considere el grafo completo integrado en el círculo unidad. Entonces nuestra cuña subtienda un arco de ángulo de $\frac{2\pi}{n}$, lo que significa que el menor de sus ángulos es $\frac{\pi}{n}$.

Esto significa que el radio del grafo completo (que es $1$), el radio del círculo pequeño $r$, y un segmento de una cuña de borde forma un ángulo recto triángulo rectángulo con hipotenusa $1$. El ángulo opuesto a $r$ es dado como $\frac{\pi}{2n}$. En conjunto, esto significa que el radio del círculo está dada por $$r = \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\approx \frac{\pi}{2n}$$ donde podemos utilizar la aproximación de ángulo pequeño para suficientemente grande $n$. Numéricamente para $n=13$, esto es aproximadamente el $r_{13} \approx 0.1205$ para una unidad de radio gráfica.

Porque tengo demasiado tiempo en mis manos, tomé la $13$ vértice de la gráfica de la interactivos de la trama que enlaza arriba y me mide el radio del círculo pequeño en longitud de píxel. El pequeño círculo había un radio de aproximadamente $30$ mientras que el total gráfico tenía un radio de aproximadamente $249$. La proporción es de aproximadamente $0.12048$, por lo que este es numérica apoyo de nuestra prueba.