Considerar la simetría $SU_L(2)\otimes U_Y(1)$. Las entradas de $SU_L(2)$ doblete será el mismo que el de U(1)-carga. Cómo puede ser demostrado matemáticamente?
Respuesta
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Stefano
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I) Si una teoría se declara un grupo de simetría $G$, significa que de manera más abstracta que el grupo $G$ actúa sobre los componentes (campos, etc.) de acuerdo a algunas reglas y la teoría (de Lagrange etc) permanece invariante bajo tales transformaciones.
II) los componentes (campos, etc.) forma (lineal) de las representaciones de $V$ de la $G$. Si la representación es (completamente) reducible podemos descomponer en irreps. Los objetivos fundamentales (campos, etc) [que consideramos] por esta razón se elige a menudo para transformar como irreps de la teoría.
III) Ahora una irrep $V$ de un grupo de productos de $G=G_1\times G_2$ es de la forma de un tensor de productos de $V\cong V_1 \otimes V_2$ de irrep $V_1$ $V_2$ para los grupos de $G_1$$G_2$, respectivamente.
IV) Las irreps del grupo Abelian $U(1)$ todos los $1$-dimensional y etiquetados por un entero $n\in \mathbb{Z}$ llamado el cargo.
V) Para volver a OP pregunta, en la teoría electrodébil con el grupo $G=SU(2)\times U(1)$, la de un campo de transformar, por definición, como una irrep $V\cong V_1 \otimes V_2$$SU(2)\times U(1)$. En particular, la irrep $V$ lleva un $U(1)$ de carga, que (modulo diversas convenciones de normalización) es el débil hypercharge. Para resumir: El punto principal es que el débil hypercharge se fija por definición/construcción.
VI) tal vez el siguiente comentario es útil: Si se nos da un producto tensor $V=V_1\otimes V_2$, donde suponemos que (i) $V$ es un (completamente) se reduce a la representación de $SU(2)\times U(1)$, (ii) $V_1$ es una irrep de $SU(2)$, y (iii) $V_2$ $1$- dimensiones de la representación de $U(1)$, se deduce que el $V_2$ (e $V$) debe ser irreps así. Y, por tanto, $V_1$ lleva un fijo débil hypercharge.
