Enseño a estudiantes de secundaria de nivel medio que no han tenido mucho más allá de Álgebra 1. Quiero mostrarles por qué la inducción tiene sentido. Quiero el tipo de problema en el que es intuitivo que una afirmación es verdadera para n=3 siempre que sea verdadera para n=2, etc. Todos los que encuentro en los libros de texto implican demostrar conjeturas que creo que uno no descubriría mirando n=1, luego n=2, luego n=3, etc, o son demasiado difíciles/abstractos para mis alumnos, o no está inmediatamente claro por qué uno pensaría en hacer una demostración inductiva sobre ellos (por ejemplo, los típicos problemas de suma). Estoy pensando, por ejemplo, en que estás leyendo un libro de texto, y dice algo como "y claramente eso se sigue por inducción" ....so, el tipo de teorema que naturalmente te hace pensar en una prueba inductiva. He encontrado una que me gusta, que es la siguiente:
Demostrando que $n!\geq 2^n$ para $n\geq 4$ . Me gusta este porque podemos ver que es cierto para 4, es decir, sabemos que $$4\cdot3\cdot 2\cdot 1\geq 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ y entonces porque $5\geq 2$ se deduce de una propiedad de conservación de las desigualdades que $$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$
Con este tipo de ejemplo, los alumnos pueden ver por qué tiene sentido una demostración por inducción: simplemente seguimos utilizando los conocimientos previos. Vemos el caso de $n=4$ y ver que funciona, y luego casi inmediatamente de eso vemos que funciona para $n=5$ etc.
El problema de este ejemplo es que comienza en $n=4$ . Quiero algo que empiece en $n=1$ como el primer ejemplo de inducción que les doy, y no sólo quiero hacer $$(n+4)!\geq 2^{n+4},$$ porque creo que eso los confundiría más. ¿Alguna idea?
Yo he sido a esta pregunta: Ejemplos de inducción matemática pero no sirvió de nada, ya que necesitaba un ejemplo mucho más sencillo para mis alumnos.
