prueba de que la unión de una secuencia de conjuntos contables es contable.

Question

Este es un teorema demostrado en Rudin.

Teorema. Dejemos que $E_n, n=1,2,3,\ldots$ sea una secuencia de conjuntos contables, y ponga $S=\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ . Entonces $S$ es contable.

Prueba. Que cada conjunto $E_n$ estar dispuestos en una secuencia $x_{nk}, k=1,2,3,\ldots$ y considerar el conjunto infinito $$\begin{array}{cccc} x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}&\cdots\\ x_{31}&x_{32}&x_{33}&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}$$ en la que los elementos de $E_n$ formar la $n$ La tercera fila. La matriz contiene todos los elementos de $S$ . Como indican las flechas en esta imagen -

- estos elementos pueden estar dispuestos en una secuencia $$x_{11};x_{21},x_{12};x_{31},x_{22},x_{13};x_{41},x_{32},x_{23},x_{14};\ldots.\qquad(17)$$ Si dos conjuntos cualesquiera $E_n$ tienen elementos en común, éstos aparecerán más de una vez en $(17)$ . Por lo tanto, existe un subconjunto $T$ del conjunto de todos los enteros positivos tales que $S\sim T$ lo que demuestra que $S$ es como máximo contable (Teorema 2.8). Dado que $E_1\subset S$ y $E_1$ es infinito, $S$ es infinito y, por tanto, contable.

Sin embargo, me cuesta visualizar/entender la última parte de la prueba[(17) en adelante], ¿podría alguien dar una explicación/descripción intuitiva del último párrafo para ayudarme a entender la prueba?

Answer 1

La idea del último párrafo es que en esta secuencia muchos nombran el mismo elemento dos veces. Esto puede ocurrir si algún $x$ está en dos de los $E_k$ conjuntos. De ahí que el autor señale que la función que envía todo número natural $n$ a la $n$ El segundo elemento de esa secuencia no es biyectivo. Para hacerla biyectiva, tenemos que restringir su dominio a algún subconjunto de los números naturales (de manera que no se envíen dos números naturales al mismo elemento). Por lo tanto, $S$ es equinumérico con un subconjunto de números naturales.

Ahora sabemos (y supongo que se trata del teorema 2.8) que todo subconjunto de los números naturales es contablemente infinito o finito. Por tanto, hasta ahora sólo hemos demostrado que $S$ es contablemente infinito o finito. Pero, ya sabemos que contiene al menos elementos contablemente infinitos, los elementos de $E_1$ . Por lo tanto, no puede ser finito. Esto implica que es contable.

Answer 2

Lo que Rudin está diciendo es que en la secuencia que escribe, cada elemento de cada $E_n$ aparece al menos una vez. Por definición, esto demuestra que existe una suryección $\mathbb{N} \to S$ . Por lo tanto, $S$ puede identificarse con un subconjunto de los enteros positivos: para cada $s \in S$ , $s$ aparece en algún momento de la secuencia y podemos dejar que $m(s)$ denota uno de esos enteros tal que el $m(s)$ -El elemento número uno de la secuencia es $s$ . Por lo tanto, $S$ es finito o contablemente infinito. El primer caso queda excluido ya que $S$ contiene el conjunto infinito $E_1$ .