Probando $\lim_{h \to 0} \frac {\arccos(\cos^2h)} {h}$ no existe

Question

Quiero mostrar $\arcsin (\sin^2x) $ no es diferenciable en $\pi/2+\pi k$ . (si es verdad).

Hasta ahora lo he hecho: $$ \frac{\arcsin (\sin^2(\pi/2+\pi k +h))-\arcsin (\sin^2(\pi/2+\pi k))}{h}=\frac{\arcsin (\cos^2h)-\ \pi/2}{h} = \frac {\arccos (\cos^2 h)}{h} $$

por lo que basta con querer demostrar que este límite existe o no existe:

$$\lim_{h \to 0} \frac {\arccos(\cos^2h)} {h}$$

No estoy seguro de cómo proceder.

EDIT: He editado la pregunta para cubrir $-\pi/2 +2\pi k$ también. Creo que la pregunta no recibió suficiente atención.

Me ha dicho un amigo que es solucionable usando la regla de l'hopitals mirando los límites de un lado, sin embargo l'hopitals está 2 meses por delante en mi curso. un poco extraño este problema aparece ahora.

Answer 1

Dado que la función tiene periodo $\pi$ calculando el límite en $\pi/2$ es suficiente. Ahora, ¿dónde está el error?

El cálculo $$ \arcsin\left(\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+h\right)\right)-\arcsin\sin^2\frac{\pi}{2}= \arcsin\cos^2 h-\frac{\pi}{2}=-\arccos\cos^2h $$ es correcto. Ahora su límite es exactamente calcular la derivada de $f(x)=\arccos\cos^2x$ en $0$ .

La función es continua y su derivada, salvo posiblemente en el cero, existe: $$ f'(x)=\frac{2\sin x\cos x}{\sqrt{1-\cos^2x}}= \frac{2\sin x\cos x}{|\sin x|} $$ y el límite de ésta en $0$ es diferente cuando se calcula desde la izquierda y desde la derecha: $$ \lim_{x\to 0+}f'(x)=1,\quad \lim_{x\to 0-}f'(x)=-1. $$

Ahora, sé que esto utiliza el teorema de l'Hôpital, pero esto es una guía. Si $f$ eran diferenciables en $0$ la derivada debe ser $0$ porque la función es par y no negativa. Así que queremos demostrar que $$ \frac{f(x)}{x}\ge1 $$ se mantiene para $0<x<k$ (para algunos $k>0$ ). Esto significa que $$ \arccos\cos^2x>x $$ o, como el coseno es decreciente en $[0,\pi/2]$ , $$ \cos^2x<\cos x $$ lo cual es cierto para $0<x<\pi/2$ .