¿Cuál es la integral de $\int_{-1/2}^{1/2} \cos(x)\ln(\frac{1+x}{1-x})\,dx$

Question

Actualmente no veo cómo resolver la siguiente integral:

$$\int_{-1/2}^{1/2} \cos(x)\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \,dx$$

He intentado resolverlo con integración por partes y con una serie de Taylor, pero nada me ha servido hasta ahora.

Answer 1

Como se ha señalado, el integrando es impar. Para aclarar esto, dejemos que $x\to -x:$

$$I=\int_{-1/2}^{1/2} \cos x\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)dx=\int_{-1/2}^{1/2} \cos x\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)dx$$

Añadiendo ambos:

$$I=\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2} \cos x\ln\left(1\right)dx=0$$

Para futuras referencias, siempre que veas simetría en los límites, comprueba si el integrando es par/impar antes de embarcarte en cualquier otra cosa.

Answer 2

Pista: El integrando es una función impar.

Answer 3

No se puede resolver la integral indefinida utilizando funciones elementales. Sin embargo, esta integral se puede resolver por partes si se utiliza $Ci(x)$ - la Integral del coseno . El valor real como mencionó @Psx es por supuesto cero ya que el integrando es impar.

Answer 4

Dejar $x=-u$ en la segunda integral has terminado $$\int_{-1/2}^{1/2} \cos(x)\ln(1+x) \ dx-\int_{-1/2}^{1/2} \cos(x)\ln(1-x) \ dx$$