¿Cómo puedo reducir esta expresión de los coeficientes binomiales

Question

Yo era la solución de un problema y estoy atascado con esta expresión. Cualquier conduce en ¿cómo puedo simplificar esta expresión?

$$\frac{{\sum\limits_{x=Q}^{N-P+Q} (x-Q) \binom{x}{Q} \binom{N-x}{P-Q}}}{{\sum\limits_{x=Q}^{N-P+Q} \binom{x}{Q} \binom{N-x}{P-Q}}}$$

ACTUALIZACIÓN: me di cuenta de un error. la expresión actualizada.

Answer 1

Hay una variación de la Vandermonde de identidad en la que se lee, para $k,m,n\in\mathbf N$: $$ \sum_{i=0}^k\binom im\binom{k-i}n=\binom{k+1}{m+n+1}. $$ Aquí es cómo usted puede recordar es: vamos a $0\leq a_0<\cdots<a_{m+n}\leq k$ ser una de las $\binom{k+1}{m+n+1}$ subconjuntos de a $m+n+1$ números de $a_j$ de la $k+1$-establecer $\{0,\ldots,k\}$, dispuestas cada vez más. Poner $i=a_m$, entonces no se $\binom im$ opciones de la izquierda para $a_0,\ldots,a_{m-1}$, e $\binom{k-i}n$ opciones para $a_{m+1},\ldots,a_{m+n}$.

Uno puede restringir el rango de $i$ a los valores de $m\leq i\leq k-n$, al igual que otros términos contribuir $0$.

Por lo que su expresión simplfies a $$ \frac{{\sum\limits_{x=Q}^{N-P+Q} \binom{x-1}{Q} \binom{N-x} de{P, Q}}}{{\sum\limits_{x=Q}^{N-P+Q} \binom{x}{Q} \binom{N-x} de{P, Q}}}= \frac{\binom{N}{P+1}}{\binom{N+1}{P+1}}=\frac{N-P}{N+1}. $$