Es $ f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ a través de $ \ f(x) = x^{5} -3$ ¿subjetivo?

Question

Pregunta:

Es $ f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ a través de $ \ f(x) = x^{5} -3$ ¿subjetivo?

Mi intento:

No. Considera $ y = 2$ . No existe $ x \in \mathbb{Q} \ such \ that \ y = f(x)$ .

¿Estoy en lo cierto? ¿Es este el enfoque correcto para demostrar que una función no es sobreyectiva?

Answer 1

No existe ningún $\theta \in \Bbb Q$ tal que

$f(\theta) = 0; \tag{1}$

si lo hubiera, entonces

$\theta^5 = 3; \tag{2}$

pero

$\sqrt[5] \theta \notin \Bbb Q. \tag{3}$

Para rematar la faena, habría que demostrar (3):

Si hay fueron enteros $r$ , $s$ con $\gcd(r, s) = 1$ y

$\left (\dfrac{r}{s} \right )^5 = 3, \tag{4}$

entonces

$r^5 = 3s^5, \tag{5}$

así que $3\mid r^5$ De ahí que $3 \mid r$ De ahí que

$r = 3t, \tag{6}$

así que

$r^5 = 3^5 t^5,\tag{7}$

cediendo

$3^5t^5 = 3s^5, \tag{8}$

de donde

$3^4 t^5 = s^5, \tag{9}$

así que $3 \mid s^5$ Por lo tanto $3 \mid s$ , contradiciendo $\gcd(r, s) = 1$ .

Esta demostración es obviamente paralela a la prueba clásica de que $\sqrt 2 \notin \Bbb Q$ .

Answer 2

Como alternativa al argumento de la "forma reducida de una fracción", se podría aplicar los criterios de eisenstein , donde $p=5$ , divide $5$ , mientras que $p^2$ no divide $5$ .

A partir de esto, vemos que $x^5-5$ es irreducible sobre $\mathbb Q$ , por lo que ninguna de las soluciones $x^5=5$ son racionales.

Answer 3

Para otra toma de la no-surjetividad, considere el valor $y = -1 \iff x^5-2=0\,$ . Esta última es una ecuación polinómica con coeficientes enteros, por lo que por la teorema de la raíz racional las únicas raíces racionales potenciales podrían ser $\pm1, \pm2\,$ . Se puede comprobar fácilmente por inspección que ninguno de ellos es realmente una raíz, por lo que $x^5-2=0$ no tiene raíces racionales, y por lo tanto $-1 \not \in f(\mathbb{Q})\,$ .

Answer 4

Supongamos que $\big(\frac ab\big)^5=5$ , $a,b$ sin divisor común. Entonces $a^5=5b^5$ . Entonces $5$ divide el RHS por lo que divide el LHS por lo que $5$ divide $a$ . Así que $5^5$ divide el LHS. Así que $5^5$ divide el RHS. Así que $5$ divide $b$ . Pero entonces $5$ divide ambos $a$ y $b$ una contradicción.