Vamos a la gráfica de $y=f(x)$ ser una curva de $C$$f''>0$.
Probar que si $y_0\leq f(x_0)$, entonces existe una tangente de $C$ ir a través de $(x_0,y_0)$
No sé cómo probar la existencia.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hmm, tal y como yo lo veo, la demanda es simplemente incorrecto. He aquí un contraejemplo:
Como idm muestra en su respuesta, un criterio necesario para la afirmación de mantener para una función determinada,$f$, fija $x_0$ y todos los $y_0$ es que la función $$g(x) = f(x) - (x-x_0)f'(x)$$ tiene la imagen de $\mathrm{im}(g) = (-\infty,g(x_0)]$, así que vamos a venir para arriba con una función de $f$ que no tiene esa propiedad. Uno encuentra que las $g'(x) = (x-x_0)f''(x)$, por lo que es claro que un contraejemplo tendría que tener a $f''(x)$ enfoque de $0$ más rápidamente en $\pm \infty$, o en otras palabras, $f'(x)$ tiene que ser delimitada y acercarse a sus límites con bastante rapidez, así que aquí es algo construido para satisfacer que:
Concretamente, vamos a $f(x) = \log(1+e^x)$. A continuación,$f'(x) = e^x/(1+e^x)$, y $$f''(x) = \frac{e^x}{1+e^x} - \frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2} = (1-f'(x))f'(x).$$ Voy a dejar que usted compruebe que la función de este último es positivo.
Ahora, dejando $x_0 = 0$, también se puede comprobar que $\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0$ (e $g(x) > 0$), de tal manera que mientras $y_0 \leq 0$, usted no será capaz de encontrar la deseada tangente.
Puede ser útil en realidad, la trama esta función para visualizar lo que está pasando, así que aquí está una parcela de $f$, así como uno con 200 tangentes.
idm
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8072
Deje $x_0\in\mathbb R$. Tenemos que demostrar que $$\exists t\in\mathbb R: y_0=f'(t)(x_0-t)+f(t)$$
Supongo que $f\in\mathcal C^2(\mathbb R)$, porque si no, $f''$ no tienen ningún sentido.
Por hipótesis, $f''>0$ por lo tanto $f$ es convexa, y por lo tanto, $$\forall y\in\mathbb R, \ f(x_0)\geq f'(t)(x_0-t)+f(t).$$
Vamos a considerar $g:\mathbb R\to\mathbb R$ se define por $$g(t)=f'(t)(x_0-t)+f(t).$$
Podemos remarque que $g\in\mathcal C^1(\mathbb R )$. La observación de que $g(x_0)=f(x_0)$ $g(t)\leq g(x_0)$ todos los $t\in\mathbb R$ (en otras palabras, $g(x_0)$ es el máximo de $g$). Por otra parte $$g(\mathbb R)=]-\infty ,g(x_0)].$$
Por lo tanto, si $y_0\leq f(x_0)=g(x_0)$, hay un $t\in\mathbb R$ tal que $$y_0=g(t)=f'(t)(x_0-t)+f(t).$$
Q. E. D.
carlfriedrich
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21
Podemos suponer sin pérdida de genrality que $y_0<f(x_0)$.
$f''>0$ implica que su función es estrictamente convexa, por lo tanto, una vez que el punto de $(x_0,y_0)$ está "debajo" de la gráfica de $f$, es posible encontrar una función lineal $$g_{a}(x)=ax-ax_0+y_0,$$
tal que $$g_{a}(x_0)=y_0, \ f(x)> g_{a}(x),\ \forall \ x\tag{1}.$$
Ahora, encontrar $a,x'$ tal que $f(x')=g_a(x')$ $f'(x')=a$ (es decir, rotar la línea alrededor del punto de $(x_0,y_0)$). Esto es posible, porque de $(1)$.
