¿Es el producto cruzado de dos vectores unitarios un vector unitario?

Question

O, en general, ¿qué significa la magnitud del producto cruzado? ¿Cómo probarías o refutarías esto?

Answer 1

No - por ejemplo, el producto cruzado de cualquier vector unitario consigo mismo es 0. En general, la magnitud del producto cruzado de vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ . Así, el producto cruzado de dos vectores unitarios $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es a su vez un vector unitario si y sólo si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales, es decir, se encuentran en ángulo recto (esto hace que $\sin(\theta)=\sin(\frac{\pi}{2})=1$ ).

En cuanto a la interpretación general de la magnitud del producto cruzado, véase Wikipedia :

La magnitud del producto cruzado puede interpretarse como el área positiva del paralelogramo que tiene $a$ y $b$ como lados.

Answer 2

$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\sin(\theta)|$

Dejemos que $a,b$ vectores unitarios, por lo que tenemos $|a| = |b| = 1$

$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\sin(\theta)| \le 1$ (la igualdad es cuando $|\sin(\theta)| = 1$ es decir, cuando a y b son perpendiculares)

Por lo tanto, en general el resultado no será un vector unitario.

Answer 3

Si sabes que los vectores unitarios de los que partes son perpendiculares entre sí (el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ es cero), entonces el producto cruzado $\vec{a}\times\vec{b}$ será un vector unitario (una longitud de uno).

Si no se tiene la restricción anterior para los vectores unitarios de entrada, entonces la salida del producto cruzado $\vec{a}\times\vec{b}$ no se garantiza que sea un vector unitario, ya que la longitud depende del ángulo (la longitud es $sin(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores de entrada).

Esta respuesta se centra en los casos especiales, para las generalizaciones ver las otras grandes respuestas.