¿Qué es el espacio generado por adición y \mapsto $(a, b) (a + b) ^ {-1}$ de b \cdot a\cdot de elementos y de sus inversas?

Question

(la motivación de la sección resultó un poco largo, la pregunta matemática es al final)

Necesito trabajar con la energía eléctrica circuts en el momento, informática eficaz de impedancias etc. A partir de la electrodinámica, hemos Kirchhoffs ley y así sucesivamente, que se traducen en dos reglas: Si usted tiene dos impedancias de $Z_1,Z_2$ en serie, el total de la impecance está dada por $$s(Z_1,Z_2)=Z_1+Z_2.$$

Si usted tiene en paralelo a obtener $$p(Z_1,Z_2)=\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}}$$

Yo estaba usando el más general de la regla de los $\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}}$, hasta que me dediced que debo obtenerlo a partir de lo anterior, y de hecho

$$p(Z_1,Z_2,Z_3):=p(Z_1,p(Z_2,Z_3))=\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}}}}=\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}}.$$

Ahora tenemos $s(Z_1,Z_1)=2Z_1$ y $p(Z_1,Z_1)=\tfrac{1}{2}Z_1$ y estas operaciones son altamente simétrica, en la que, por ejemplo, $p(Z_1,p(Z_2,p(Z_3,Z_4))=p((Z_1,Z_2),p(Z_3,Z_4))$. Y podemos construir complicadas, por ejemplo, $p(p(Z_1,Z_2),s(Z_1,Z_2))=\frac{Z_1^2+Z_1Z_2}{3Z_1+2Z_2}$. Podría ser podemos ajuste de los coeficientes ahí para cualquier natural que nos gusta.

Ahora tenemos los elementos pasivos del resistor de $R$, capacidad $C$ y inductivity $L$ con

$$Z_R=R,\ \ Z_C(\omega)=\frac{1}{iC\omega},\ \ Z_L(\omega)=i\omega L.$$

y los circuitos eléctricos se utilizan para redactar estas diversas funciones, por lo que la resistencia eléctrica es selectiva w.r.t $\omega$. E. g. tenemos filtros que, efectivamente, son funciones que sólo tienen el apoyo limitado. O ver, por ejemplo, los dos elemento LC-circuito para una construcción simple. Yo estaba pensando si puedo construir una frecuencia independiente de la impedancia sin el uso constante de elementos $Z_R$, y la idea obvia habría sido dejar que $\omega$ cancelar en

$$Z_C\cdot Z_L=\frac{1}{iC\omega}i\omega L=\frac{L}{C}.$$

Por un momento me quedé pensando en que el circuito de combinación daría mi $Z_1Z_2$, pero rápidamente me di cuenta de que ambos $s$ y $p$ asignar una unidad de Ohm volver a Ohm (por ejemplo, $\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}}=(Z_1+Z_2)^{-1}Z_1Z_2$, lo que, efectivamente, todavía tiene unidades de Ohm a la potencia 1), y la unidad de $Z_1Z_2$ sería Ohm a la potencia de 2. Pero sí, por ejemplo, hacen posible construir $\frac{1}{1+i\omega C}$.

Así que mi pregunta ahora es: ¿Cuál es la función de espacio que puede generar? Supongo que es algo de la extensión de algunos de restricción de los racionales de polinomios generados por funciones simétricas. Aviso de que tenemos "$+$", pero no "$-$", y una versión débil de "$/$", pero no "$\cdot$". Para $x,y\in \mathbb R_{>0}$, tenemos $p(x,y)=p(y,x)>x$ y $s(x,y)=s(y,x)<x$.

¿Cuál es la función del espacio en $\omega$ I puede generar con las operaciones $$s(Z_1,Z_2)=Z_1+Z_2\ \text{y }\ p(Z_1,Z_2)=(Z_1+Z_2)^{-1}Z_1Z_2,$$ donde $Z$'s son de la forma $$a,\ b\ i\omega),\ c\ (i\omega)^{-1}$$ donde $a,b,c$ son, por ejemplo, en $\mathbb R_{>0}$ y $i^2=-1$?

Este <link> es un más amplio SE pregunta sobre circuitos eléctricos.

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Editar (11.7.13):

He trabajado en ello y aquí algunas ideas: En términos de $Z_j$'s, las expresiones mirar siempre de la forma $\tfrac{P}{Q}$, donde $P$ y $Q$ se polynmials de la forma

$$\sum_i^N\prod_{j=\sigma(i)}^M Z_j,$$

por ejemplo,

$$s(p(Z_1,Z_2),Z_3)=\frac{Z_1\cdot Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3=\frac{Z_1 \cdot Z_2+Z_1 \cdot Z_3+Z_2 \cdot Z_3}{Z_1 + Z_2}=\frac{\sum_{i=1}^3\prod_{j=i}^{i+1} Z_j}{\sum_{i=1}^2\prod_{j=i}^{i} Z_j},$$

Una interesante subquestion aparece: Dado $P$, podemos determinar la forma de Q? (Hasta un total de factores multiplicativos, que sabemos que podemos cambiar la escala) en Caso afirmativo, ¿ a qué se extienden ¿todavía sostenga uno de nosotros substiture los $Z$'s $R$, $i\omega L$ o $\tfrac{1}{i\omega C}$?

La estructura de cada expresión $s(p(*,*),*)$ claramente es de la forma simple de un árbol que se pueden enumerar. Para cualquier número fijo de entradas, que todo puede ser de la forma $a,\ b\ i\omega),\ c\ (i\omega)^{-1}$ (por ejemplo, tres de $Z_1,Z_2,Z_3$ en el caso anterior) y donde los verdaderos valores de $a,b,c$ puede ser ajustado como nos gusta, podemos generar todos los posibles de la expresión.

Esto sugiere una más explícita formulación de la pregunta: Para un determinado número de argumentos, ¿cuál es la función de mapeo de que el índice de el árbol para el polinomio $P/P$?

He puesto esta actualización ahora que he descubierto que esa función exibits algunos no trivial características: Por ejemplo, si dos de ciertos $Z$'s en la expresión $s(*,p(*,*))$ tienen la misma dependencia en $i\omega$, entonces resulta que (por modificación de la escala de los números $a,b,c$), esto es equivalente a la combinación de $p(*,s(*,*))$:

en.wikipedia.org/wiki/Equivalent_impedance_transforms

Answer 1

Usted está pidiendo el cierre del espacio vectorial de funciones se extendió por $1, \omega \omega^{-1}$ cerrado bajo la adición $h = f + g$ y la media armónica $\frac{1}{h} = \frac{1}{f} + \frac{1}{g}$.

Esto será el subespacio de las funciones racionales de $\mathbb{C}(\omega)$ posiblemente todos ellos.

• usted puede obtener $a + b\omega + c\omega^{-1}$.

• ni siquiera estoy seguro de que usted puede construir $\omega^2$ de esta manera.

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Déjame probar un poco más difícil. Para cualquier función $Z(\omega)$ usted puede obtener $A$Z + 1 \text{ y } \frac{1}{1 + \frac{1}{Z}} = \frac{Z}{Z+1}$$ Estos son ejemplos de fracciones de transformaciones lineales. Estos corresponden a las matrices

$$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ y } \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$ Estas matrices pueden ser más fáciles de ver alrededor de funciones racionales. Luego traté de:

$$\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array} \right)$$ Esto correspondería a la función $\frac{1}{Z}$. En términos de funciones racionales de obtener la identidad

$$\frac{\frac{z}{-z+1}+1}{\frac{z} {z}+1} = \frac{z + (-z+1)}{z} = \frac{1}{z}$$

Usted puede imaginar el circuito de este corresponde. Por lo que su espacio de funciones racionales es cerrado bajo recíprocos incluso si usted no se puede multiplicar.

Hay pequeños trozos de plano álgebras y fracciones continuas en aquí.

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Aquí una manera de conseguir que $\frac{Y^2}{Z}$.

$$\frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z} } = \frac{zy}{z + y}$$

Si hacemos la sustitución $z \mapsto z - y ˆ, z-transformar lee ahora

$$\frac{(z-y)y}{z} = \left( 1 - \frac{y}{z} \right) y \text{ y así } -1\left[\left( 1 - \frac{y}{z} \right) y - y\right] = \frac{y^2}{z}$$

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Si ponemos $z = 1$, La identidad $\frac{-1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}}+y = y^2$ significa que dejamos de y = \omega$y construir$y = \omega^2$.

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Usted debe ser capaz de obtener $\omega^k$ para $k \in \mathbb{Z}$ y agregar a obtener cualquier Laurent de la serie. El anillo es de $\mathbb{C}(\omega)$

Answer 2

El espacio de holomorphic funciones que preservan la mitad derecha del plano-$\mathbb{C}_{+} := \mathbb{R}_{+} + i \mathbb{R}$ es, obviamente, cerrada en sus dos operaciones, y contiene las funciones $1$, $z$ y $z^{-1}$.

Que yo sepa, hay un teorema que describe todos los holomorphic funciones que preservan este medio-plano como $f(z) = \intop_\mathbb{R} f_\alpha(z) \mu(d \alpha) + b + cz$, donde $f_\alpha(z) = (z - i \alpha)^{-1}$, $\Re b \ge 0$, $c \ge 0$ y $\mu$ son medidas positivas (ver, por ejemplo, el Operador de la monotonía de la función). Las funciones $1$, $z$ y $z^{-1}$ preservar $\mathbb{R}$, por lo que en su caso $\mu$ debe ser simétrica. Ahora tenga en cuenta que $\frac{1}{2} (f_\alpha + f_{-\alpha}) = (z + \frac{\alpha^2}{z})^{-1}$, y esta función puede ser construido con nuestras operaciones (al menos, si $\alpha$ es racional). Por lo tanto, el cierre de su espacio de funciones (en la topología de la convergencia uniforme sobre compactos subconjuntos) es todo el espacio de holomorphic funciones de $\mathbb{C}_+$ a sí mismo "con coeficientes reales".

Edit: también debo decir que para mi la construcción necesitan $\alpha z$ para todo $\alpha > 0$, pero a partir de cualquier función se puede obtener todo positivo racional de sus múltiplos.

Sería interesante averiguar qué sucede si no permitimos que la aproximación...