Propiedad de la secuencia de los números primos

Question

Deje $p_n$ el valor del $n$-ésimo número primo. ¿Alguien sabe de un comprobante de los siguientes bienes?

$$\forall n, n', \ p_n p_{n'} \geq p_{n+n'}$$

Me sorprende que no puede encontrar nada en esta aunque yo creo que debe ser algo que la gente podría encontrar interesante (si es cierto). El caso de $n=1$ ( $p_n=2$ ) es equivalente a Bertrand postulado.

Answer 1

Suponga $n\leq m$ (aquí utilizo $m$ en lugar de $n'$). Por Rosser del teorema tenemos que $p_np_m>n\ln n\cdot m\ln m=nm\ln n\ln m$. Para $n,m>8$ tenemos $nm\geq\frac{n+4}{2}\cdot m=\frac{1}{2}nm+2m\geq 2n+2m$. Tenemos para $n>e^2$ $\ln n\ln m>2\ln m=\ln m+\ln m\geq\ln n+\ln m$, por lo $p_np_m>nm\ln n\ln m> 2(n+m)(\ln n+\ln m)>2(n+m)\ln nm>2(n+m)\ln(n+m)=(n+m)\ln(n+m)+(n+m)\ln(n+m)>(n+m)\ln(n+m)+(n+m)\ln\ln(n+m)>p_{n+m}$ donde la última igualdad es mencionado aquí y tiene por $n+m\geq 6$.

Answer 2

Podemos utilizar un par de explícito mejoras sobre Bertrand encontrado en la Wikipedia:

[Nagura 1952] Para $x\ge 25$ no es una de las principales entre el$x$$\frac 65 x$.

Por lo tanto, si $p_{n}\ge \left(\frac 65\right)^n$ $p_{n'}>23$ hay $n$ números primos entre $p_n'$$p_{n}p_{n'}$. Junto con un número finito de cheques para $p_n\le p_{n'}\le 23$ esta se asienta todos los casos con uno de los primos de ser $<100$ (o lo que es equivalente: cuando al menos uno de $n,n'$$\le 25$). En realidad, sólo tenemos que manejar el caso en que al menos uno de $n,n'$ $\le 5$ (es decir, uno de $p_n,p_{n'}$$\le 11$), debido a que el resto se reparte con el siguiente agradable para estimar el $n$la primer:

Para$n\ge 6$, $n(\ln(n\ln n)-1)<p_n<n\ln(n\ln n)$

Por lo tanto $$p_np_{n'}>nn'(\ln(n\ln n)-1)(\ln(n'\ln n')-1)$$ y $$p_{n+n'}<(n+n')\ln((n+n')\ln(n+n'))$$ Como podemos incluso suponer $n\ge n'\ge6$, nos encontramos con $$\begin{align} p_{n+n'}&<2n\ln(2n\ln(2n))\\&=2n\ln((2n+\ln2)\ln n)\\&<2n(\ln 3+\ln(n\ln n))\\&<3n\ln(n\ln n))\end{align}$$ y $$\begin{align}p_np_{n'}&>6n(\ln(n\ln n)-1)(\ln(6\ln 6)-1)\\& >13n(\ln(n\ln n)-1)\end{align}$$ Así que todo lo que necesitamos para completar la prueba es $$10\ln(n\ln n)>13$$ que es el caso debido a que $n\ln n\ge 6\ln 6>10$