buscando la prueba de que esta uniformemente acotada secuencia de funciones no tiene pointwise convergente larga

Question

Matemáticas personas:

No podía encontrar una pregunta similar, así que aquí va: me gustaría probar el hecho (?) que la secuencia de funciones de $(f_n) \subset C([0,1])$ definido por $f_n(x)=\sin(nx)$ no tiene un larga que converge pointwise a cualquier función.

Esta no es la tarea. Pronto voy a enseñar el Arzela-Ascoli teorema, y quiero demostrar que sin la equicontinuity supuesto, es difícil concluir nada acerca de la convergencia de una secuencia de funciones, incluso pointwise convergencia.

Estoy casi seguro de que lo que afirmo es verdadera, solo estoy teniendo problemas para probarlo. También estoy casi seguro de que esto ha sido hecho antes. Es obvio que toda la secuencia $(f_n)$ no convergen pointwise, y que no se larga de $(f_n)$ converge uniformemente, pero esa no es mi pregunta.

Answer 1

Supongamos $f_{n_k}\to f$ pointwise (un.e.). Desde cada una de las $f_{n_k}$ está delimitado por $1$, el Teorema de Convergencia Dominada implica $$\int_a^b f_{n_k}(x)\,dx\to \int_a^b f(x)\,dx$$ for every subinterval $[a,b]$. Por otro lado, $$\int_a^b f_{n_k}(x)\,dx = \frac{1}{n_k} (\cos n_k ax - \cos n_k bx)\to 0$$ Por lo tanto, $\int_a^b f(x)\,dx=0$ por cada subinterval. Esto implica (por diferenciación de Lebesgue) que $f=0$.e.

Aplicando el teorema de Convergencia Dominada a $f_{n_k}^2$, obtenemos $$\int_a^b f_{n_k}^2(x)\,dx\to 0$$ lo cual es una contradicción, porque $$\int_a^b f_{n_k}^2(x)\,dx = \frac12 \int_a^b (1+\cos 2n_k x)\,dx\to \frac{b-a}{2}$$