Una ecuación funcional en variables complejas

Question

Llevo mucho tiempo atascado en este problema : Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , demuestre que

a. $f(z)=2u(z/2,(-iz)/2) +$ constante

b. $f(z)=2iv(z/2,(-iz)/2) +$ constante

Este resultado parece muy interesante en sí mismo (nada de lo que he hecho se acerca a una solución). Cualquier ayuda sería muy apreciada ....

Answer 1

Dejemos que $z=x+iy$ , $w=x-iy$ . Invirtiendo estas ecuaciones, encontramos que $$ x = \frac{1}{2}(z+w), \qquad y = \frac{1}{2i}(z-w), $$ así que, sustituyendo, $$ f(z) = u\left( \frac{z+w}{2},\frac{z-w}{2i} \right) + i v\left( \frac{z+w}{2}, \frac{z-w}{2i} \right). \tag{1} $$ Configuración $z=z_0$ da $$ f(z_0) = u\left( \frac{z_0+w}{2},\frac{z_0-w}{2i} \right) + i v\left( \frac{z_0+w}{2}, \frac{z_0-w}{2i} \right), $$ y tomando el complejo conjugado se obtiene $$ \overline{f(z_0)} = u\left( \frac{\bar{z}_0+\bar{w}}{2},\frac{\bar{w}-\bar{z}_0}{2i} \right) - i v\left( \frac{\bar{z}_0+\bar{w}}{2}, \frac{\bar{w}-\bar{z}_0}{2i} \right), $$ y el ajuste $w=\bar{z}$ da $$ \overline{f(z_0)} = u\left( \frac{z+\bar{z}_0}{2},\frac{z-\bar{z}_0}{2i} \right) - i v\left( \frac{z+\bar{z}_0}{2}, \frac{z-\bar{z}_0}{2i} \right), \tag{2} $$ Ahora, el lado izquierdo de (1) es independiente de $w$ por lo que podemos ponerlo en lo que queramos; elegir $\bar{z}_0$ , lo que da $$ f(z) = u\left( \frac{z+\bar{z}_0}{2},\frac{z-\bar{z}_0}{2i} \right) + i v\left( \frac{z+\bar{z}_0}{2}, \frac{z-\bar{z}_0}{2i} \right). \tag{3} $$

Ahora suma y resta (2) y (3) para obtener $f(z)$ en términos de $u$ o $v$ . Establecer $z_0=0$ para conseguir lo que quieres.