Conjetura sobre la concatenación de números primos gemelos

Question

Esta pregunta se desprende de mi reciente respuesta a una pregunta formulada aquí

¿puede una matrícula de coche, una combinación de primos, ser primo?

Ahora bien, esto es cierto para ciertos números primos, por ejemplo, $3, 7, 109$ y $673$ que si se concatenan dos de estos números en cualquier orden, el número resultante será un primo. Como en este caso, Concatenando $7$ al final de $673$ resultados en $6737$ que es un primo. Esto me llevó a hacer una conjetura, que la concatenación del par de primos gemelos, tomados en orden (con el primo más grande siendo concatenado después del más pequeño de los números primos gemelos), nunca daría un primo. ¿Es cierta esta conjetura?

Answer 1

La concatenación de los primos en un par de primos gemelos donde el primer primo es mayor que $3$ es divisible por $3$ así que su conjetura es cierta. Esto es porque el primero debe ser $3k+2$ y el segundo $3k+4$ . Concatenar implica multiplicar por una potencia de $10$ que no cambia la clase de congruencia mod $3$ y añadiendo. Así, la clase de congruencia de la concatenación es la misma que la de la suma, que es $0$ es decir, es divisible por $3$ .