Demostración por Inducción de la Suma de Cuadrados de Fibonacci utilizando Opperadores de Diferencia

Question

Considere la secuencia de números de Fibonacci $\{F_n\}_{n\geq0}$ donde $F_0=0,F_1=1$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para $n\geq2$ . Se ha demostrado que \begin{equation}\sum_{i=0}^nF_i^2=F_nF_{n+1}.\end{equation}

Supongamos que generalizamos los números de Fibonacci de manera que tenemos una secuencia $\{A_n\}_{n\geq0}$ tal que $A_0=0, A_1=1$ y $A_{n}=aA_{n-1}+bA_{n-2}$ para $n\geq2$ . Supondremos que $b \ne 0$ . Podemos demostrar que

$$b^nA_0^2+b^{n-1}A_1^2+\cdots+bA_{n-1}^2+A_n^2=\frac{A_nA_{n+1}}{a}.$$ Esta fórmula se puede demostrar por inducción. No soy muy bueno con las pruebas ni con la inducción. Si me pudieran ayudar sería estupendo.

Answer 1

Dejemos que $\{A_n\}_{n\geq 0}$ ser s.t. $A_0=0$ , $A_1=1$ y $A_{n+2}=a A_{n+1}+b A_n$ para todos los enteros no negativos $n$ . Demostraremos por inducción en $n$ que $$(1)\ \ \ \ \ a\sum_{k=0}^n b^{n-k}A_k^2=A_nA_{n+1}.$$ No veo por qué necesitamos la restricción $b\neq 0$ . Si tratamos $0^0$ como $1$ entonces (1) se mantiene incluso en este caso.

La afirmación es trivial para $n=0$ (ya que tenemos $0=0$ ). Para $n=1$ tenemos $$a(bA_0+A_1)=a(0+1)=a=1\cdot a=A_1A_2.$$ Supongamos que (1) se cumple para $n$ . Entonces, $$a\sum_{k=0}^{n+1}b^{(n+1)-k}A_k^2=ab\sum_{k=0}^nb^{n-k}A_k^2+aA_{n+1}^2.$$ Por inducción $$ab\sum_{k=0}^nb^{n-k}A_k^2=b\left(a\sum_{k=0}^nb^{n-k}A_k^2\right)=b\left(A_nA_{n+1}\right).$$ Eso es, $$a\sum_{k=0}^{n+1}b^{(n+1)-k}A_k^2=b(A_nA_{n+1})+aA_{n+1}^2=A_{n+1}(aA_{n+1}+bA_n).$$ Desde $A_{n+2}=aA_{n+1}+bA_n$ obtenemos $$a\sum_{k=0}^{n+1}b^{(n+1)-k}A_k^2=A_{n+1}A_{n+2}$$ y la inducción está completa.