Dejemos que $\mathbb{Z}$ sean los enteros con la topología discreta. Sea $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ . Dar condiciones para tener $f$ continua.

Question

Esto es parte de un ejercicio con diferentes secciones. He comprobado que $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ tiene la topología discreta como la topología del subespacio. Ahora me preguntan lo siguiente:

Dejemos que $\mathbb{Z}$ sean los enteros con la topología discreta. Sea $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ . Dar condiciones para tener $f$ continua.

Mi objetivo: suena bastante ridículo, pero creo que toda función es continua. Todos los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ ir a algún lugar abierto a través de la inversa de $f$ aunque vayan al conjunto vacío. Todas las combinaciones posibles de elementos en $\mathbb{Z}$ es abierto. Así que toda función definida allí es continua, no importa qué.

¿Estoy en lo cierto o hay algún error que se me escapa?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Tienes razón.

Si $X$ tiene la topología discreta, cualquier subconjunto es abierto, por lo tanto cualquier mapa $f:X\to Y$ es continua.

Answer 2

Puede tomar $\delta = 1$ para cualquier $\varepsilon >0$ , por lo que, de hecho, incluso un simple criterio emétrico dará que todas las funciones son continuas.