Álgebra De Hopf - Adjoint Representación

Question

He sido invitado a probar el siguiente;

$$ a \circ (bc) = \sum_{(a)} (a_{(1)} \circ b)(a_{(2)} \circ c)$$

Utilizando el hecho de que el medico adjunto de la representación es la siguiente;

$$ a \circ b = \sum_{(a)} a_{(1)} b S(a_{(2)})$$

He probado la expansión de la LHS de la siguiente manera;

$$ a \circ (bc) = \sum_{(a)} a_{(1)} (bc) S(a_{(2)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} \epsilon(bc) S(a_{(2)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} \epsilon(b) \epsilon(c) S(a_{(2)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} b_{(1)} S(b_{(2)}) c_{(1)} S(c_{(2)}) S(a_{(2)})$$

Sin embargo, a partir de aquí, no estoy seguro de a dónde ir. O si incluso he hecho la corrección tthing (en el uso de la antípoda de la propiedad).

Cualquier ayuda sería genial!!

EDIT: Es la apropiada??

$$ a \circ (bc) = \sum_{(a)} a_{(1)} \epsilon(b) \epsilon(c) S(a_{(2)})$$ $$ = \sum_{(a)} \epsilon(a_{(1)}) \epsilon(b) \epsilon(c) S(a_{(2)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} S(a_{(2)}) \epsilon(b) \epsilon(c) S(\epsilon(a_{(3)}) a_{(4)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} S(a_{(2)}) \epsilon(b) \epsilon(c) \epsilon(a_{(3)} S( a_{(4)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} S(a_{(2)}) (b) (c) a_{(3)} S( a_{(4)})$$ $$ = \sum_{(a)} a_{(1)} bS(a_{(2)}) a_{(3)}c S( a_{(4)})$$ $$ = \sum_{(a)} (a_{(1)} \circ b)(a_{(2)} \circ c)$$

Sé que puedo caer el $\epsilon$ funciones, pero, ¿está bien para mover el $b$ $c$ lo que se refiere a su alrededor?? Si son solo números, me parece como si no importa a dónde van??

Answer 1

Por definición, tenemos $$ \sum ( a_{(1)} \circ b ) ( a_{(2)} \circ c) = \sum a_{(11)} b S(a_{(12)}) \ a_{(21)} c S(a_{(22)}). $$ Por coassociativity, esto es igual a $$ \sum a_{(1)} b S(a_{(211)}) a_{(212)} c S(a_{(22)}). $$ Como $\sum S(a_{(211)}) a_{(212)} = \varepsilon( a_{(21)})$, esto produce $$ \sum a_{(1)} b\varepsilon( a_{(21)}) c S(a_{(22)}). $$ Utilizando el hecho de que $\varepsilon( S(a_{(21)}) ) = \varepsilon( a_{(21)})$, podemos reescribir esto como $$ \sum a_{(1)} ac \ \varepsilon( S(a_{(21)})) S(a_{(22)}). $$ Pero esto es igual a $$ \sum a_{(1)} ac S(a_{(2)}), $$ como se desee.

El segundo enfoque tiene, básicamente, de la idea de derecho: deje $b$ $c$ solo y uso coassociativity y las propiedades de la antípoda y counit a mover $a_{(1)}$ $a_{(2)}$ alrededor, pero creo que los datos son erróneos. Usted no puede simplemente reemplazar $bc$ $a_{(1)}$ $\varepsilon(bc)$ $\varepsilon (a_{(1)})$ como usted. También, en general, un álgebra de Hopf no es conmutativa y no se puede mover $b$ $c$ alrededor. En mi enfoque, $\varepsilon( S(a_{(21)}) )$ es una constante y por lo tanto no conmuta con los otros elementos del álgebra.

Para aclarar mi notación: $$ \Delta(a) = \sum a_{(1)} \otimes a_{(2)}, \quad (\s \otimes \Delta)\circ \Delta (a)= \sum a_{(1)} \otimes a_{(21)} \otimes a_{(22)}, $$ y así sucesivamente.