Valor esperado de $f(x)= \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1-\beta x}}$

Question

$$f(x)= \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1-\beta x}}$$

donde $0<x<\beta$.

Así que estos son los tres términos multiplicado de todos para darle un feo función de distribución donde $\alpha>0$ es algún parámetro, $\beta>0$ es un parámetro. $\Gamma$ se refiere a la función Gamma.

Esto muy de cerca se asemeja a la Distribución Gamma la función, pero no del todo y no sé cómo encontrar la expectativa y la varianza para el $X$ con la función de distribución.

Traté de ir a la ruta de encontrar el momento de generación de función para realizar la distribución de parecerse a una gamma y utilizar el hecho de que la densidad sería integrar a uno, pero el $(1-\beta x)$ plazo realmente complica las cosas. No está seguro de qué hacer.

Ayuda.

Answer 1

El valor esperado de una función de densidad de probabilidad $f(x)$ está dado por

$$ \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .$$

Aplicando esto a su problema, tenemos $$ E[X] = \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^\beta \frac{x^{\alpha}}{\sqrt{1-\beta x}}\, \operatorname{d}x $$

$$ E[X] = \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^\beta x^{\alpha}(1-\beta x)^{-\frac{1}{2}}\, \operatorname{d}x . $$

Hacer el cambio de variables $y=\beta x$ rendimientos

$$ E[X] = \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^1 \frac{y^{\alpha}}{{\beta}^{\alpha}}(1- y)^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dx}{\beta}$$ $$=\frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{\beta^\alpha}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^1 \frac{y^{\alpha}}{{\beta}^{\alpha}}(1- y)^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dx}{\beta} $$

$$ = \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\beta\sqrt{\pi}} \int_{0}^1 y^{\alpha}(1- y)^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dx}{\beta}$$

$$ = \frac{\Gamma (\alpha+\frac{1}{2})}{\Gamma (\alpha)} \frac{1}{\beta\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\alpha + \frac{3}{2})}=\frac{\alpha}{\beta(\alpha+\frac{1}{2})}. $$

Tenga en cuenta que, la última integral se conoce como la función beta

$$ \int_{0}^1 t^{u-1}(1- t)^{v-1}\, dt=\frac{\Gamma(u)\Gamma(v)}{\Gamma(u+v)}. $$

Answer 2

Demos por sentado que la función de $f$ en la pregunta, que podemos reescribir como $f_{\alpha,\beta}$, es una función de densidad. En particular, $\displaystyle\int f_{\alpha,\beta}=1$ por cada $\alpha$$\beta$. Ahora, por cada $\gamma$, $$ x^\gamma f_{\alpha,\beta}(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\tfrac12)}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{\Gamma(\alpha+\gamma)}{\Gamma(\alpha+\gamma+\tfrac12)}\,\frac1{\beta^\gamma}\,f_{\alpha+\gamma,\beta}(x). $$ Desde $\displaystyle\int f_{\alpha+\gamma,\beta}=1$, esto produce sin más cálculosque $$ \mathbb E(X^\gamma)=\int x^\gamma f_{\alpha,\beta}(x)\mathrm dx=\frac{\Gamma(\alpha+\tfrac12)}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{\Gamma(\alpha+\gamma)}{\Gamma(\alpha+\gamma+\tfrac12)}\,\frac1{\beta^\gamma}. $$ El uso de este para$\gamma=1$$\gamma=2$, se obtiene $$ \mathbb E(X)=\frac{\alpha}{(\alpha+\tfrac12)}\,\frac1\beta\qquad\mathbb E(X^2)=\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\tfrac12)(\alpha+\tfrac32)}\,\frac1{\beta^2}, $$ a partir de la cual la varianza de la siguiente manera como $$ \mathrm{var}(X)=\frac{\alpha}{2(\alpha+\tfrac12)^2(\alpha+\tfrac32)}\,\frac1{\beta^2}. $$ Tenga en cuenta que $X=Y/\beta$ donde la distribución de la $Y$ es de la Beta con parámetros de $(\alpha,\frac12)$, y una lista ampliada de sus propiedades es aquí.

Answer 3

Dado: $X$ ha pdf $f(x)$:

A pesar de un montón de cálculos complicados por otros en esta página, por desgracia, el archivo pdf no está bien definida. La forma más sencilla de ver esto es simplemente calcular el cdf $P(X<x)$ para un parámetro arbitrario valores ... estoy usando la mathStatica / Mathematica combo aquí:

que no se integra a la unidad de parámetro $\beta < 1$. Para $\beta > 1$, parece complejo.

Un juego rápido sugiere que puede ser único bien definido para $\beta = 1$ ... en cuyo caso la distribución es simplemente un caso especial de la distribución Beta, es decir,: $X$ ~ $Beta(\alpha, \frac 12)$.

---

Anexo

En un commment a continuación, 'No' amablemente confirma el error de arriba ... y notas que el defecto es obvio (y quizá por eso se ha tardado 5 meses para que nadie lo note, el usuario 'No' incluido). Con el cambio sugerido, ahora todo está bien:

El deseado media y la varianza son ahora simplemente se obtiene como:

Answer 4

Con un cambio de variables en la integral de la función Beta, obtenemos $$ \begin{align} \int_0^{1/\beta}\frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1-\beta x}}\,\mathrm{d}x &=\beta^{-\alpha}\int_0^1u^{\alpha-1}(1-u)^{-1/2}\,\mathrm{d}u\\ &=\beta^{-\alpha}\frac{\Gamma(\alpha)\sqrt\pi}{\Gamma(\alpha+1/2)}\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\sqrt\pi}\frac{\Gamma(\alpha+1/2)}{\Gamma(\alpha)}\frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1-\beta x}}\etiqueta{2} $$ ha integral de la $1$. El uso de $(1)$, el valor esperado de $f(x)$ es $$ \begin{align} &\left.\int_0^{1/\beta}x\,f(x)\,\mathrm{d}x \middle/\int_0^{1/\beta}f(x)\,\mathrm{d}x\right.\\ &=\left.\int_0^{1/\beta}\frac{x^{\alpha}}{\sqrt{1-\beta x}}\,\mathrm{d}x \middle/\int_0^{1/\beta}\frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1-\beta x}}\,\mathrm{d}x\right.\\ &=\frac{\alpha/\beta}{\alpha+1/2}\tag{3} \end{align} $$