$X^2Y^2-Z^2(X^2+Y^2)=0$ es racional

Question

Estoy tratando de verificar si la curva de $X^2Y^2-Z^2(X^2+Y^2)=0$ es racional.

He comprobado que la única singularidades se $(0:0:1),(0:1:0), (1:0:0)$, los cuales son todos ordinario con multiplicidad $2$, por lo que podemos utilizar la fórmula $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{P\in C}\frac{m_P(m_P-1)}{2}$. Entonces: $$g =\frac{(4-1)(4-2)}{2}-3\frac{(2)(2-1)}{2}=3-3=0$$

(espero que esto sea correcto)

Así hemos llegado a la conclusión de que la curva racional. Pero yo no puedo ver ninguna manera obvia para encontrar un birrational mapa entre la curva y $\mathbb{P}^1$. ¿Hay algún tipo de heurística para encontrar este mapa?

Answer 1

Hay un afín modelo de $x^2+y^2=x^2y^2$, que es $$\left(\frac{x}{y}\right)^2=x^2-1.$$ Deje $u=x/y$, entonces tenemos una birational equivalencia a la cónica $$u^2=x^2-1.$$

Answer 2

Hay un mapa de $\Bbb P^1(\Bbb C)$ $[u : v] \mapsto [2uv(u²-v²) : -2iuv(u²+v²) : (u²-v²)(u²+v²)]$

El preimages de los nodos son los tres pares de $([0:1],[1:0]),([1:1],[1:-1]),([1:i],[1:-i])$ y otra cosa, el mapa es inyectiva.

Answer 3

Los otros puestos han dado solución, pero que no se explica un método general por la que un problema de este tipo puede ser resuelto. Esto es lo que hago aquí.

El método es tomar el sistema de todos los $2$nd o $3$er grado curvas (I tomar todas las $2$nd grado curvas) y requieren que pasan a través de los múltiples puntos que se han dado. Así que a fin de tomar una curva cuadrática $$dx^2+ey^2+fz^2+axy+bxz+cyz=0$$ and if this passes through the three given singular points then $d=e=f=0$ entonces tenemos el sistema lineal de las curvas $$axy+bxz+cyz=0$$
Ahora un $2$nd grado de la curva y un $4$th grado de la curva se cruzan en $2\times 4=8$ puntos. Las intersecciones en los puntos singulares de las cuentas por $6$ puntos de intersección, ya que todos ellos son el doble de puntos. Esto deja a $2$ más de puntos de intersección. Ahora elija un punto más, requieren que el cuadrático de la curva que pasa a través de ese punto. Entonces hay un punto libre (debido a $g=0$), y por resolución de este punto de obtener una birational mapa. Usted puede escoger cualquier punto, pero si tienes que elegir un punto finito puede conseguir un montón de álgebra (que todo funciona, sorprendentemente, si usted realmente desea probar la teoría, usted debe hacer esto) sin embargo los mejores resultados se obtienen utilizando un infinito punto, y como ya están tomadas he de decir que la curva cuadrática tiene una intersección de la multiplicidad $3$$[0,1,0]$. Las tangentes a la curva original en este punto está dado por $$x^2-z^2=(z+x)(x-z)$$ and I shall thus arbitrary say that the quadratic is tangent to $z+x$, this means that $z+x$ divides $ax+cz$, and thus we have $a=c$ así que nuestro sistema lineal está dada por

$$axy+bxz+ayz=0$$ o a partir de la multiplicación por una constante no importa lo escribo como

$$xz=t(xy+yz)$$ así que ahora esta curva y la original $$x^2y^2=z^2x^2+z^2y^2$$
debe tener un punto más en común de lo que voy a resolver en forma afín

$$x=t(xy+y)$$ $$x^2y^2=x^2+y^2$$

para obtener

$$x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\ \ y=\frac{1+t^2}{2t}$$ donde, por supuesto $$t=\frac{x}{y(1+x)}.$$

Y esta es nuestra birational mapa, escrito en afín a la notación.

(Por supuesto, su curva es sólo la imagen del círculo debajo de la cuadrática involuion $[x,y,z]\mapsto [yz,xz,xy]$)