Demostrar o refutar
$$ \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. $$
No tengo idea de por donde empezar, pero debe ser una simple prueba.
Trivia. Este hecho fue utilizado para la determinación de la resistencia de dos resistencias en paralelo, en algunas circunstancias, desde hace mucho tiempo.
En general, si el ángulo del vértice es $2\theta$ $OC$ es la bisectriz de un ángulo, desde $$\text{Area of triangle }OAB = \text{Area of triangle }OAC + \text{Area of triangle }OBC$$ tenemos $$\dfrac{OA \cdot OB \cdot \sin(2\theta)}2 = \dfrac{OA \cdot OC \cdot \sin(\theta)}2 + \dfrac{OC \cdot OB \cdot \sin(\theta)}2$$ $$ab\sin(2\theta) = ac\sin(\theta) + cb\sin(\theta) \implies \dfrac{2\cos(\theta)}c = \dfrac1a + \dfrac1b$$ Tomando $\theta=\pi/3$, podemos obtener lo que desea.
He aquí un trigonométricas enfoque (que es en cierto modo equivalente a la de otras respuestas aquí, ya que uno podría empezar a partir de una de estas relaciones para demostrar a los demás). Vamos a empezar con un general del ángulo de $ \ O \ $$ \ m(\angle O ) \ = \ \theta \ $ , como user17762 hace, y ofrece impresionantes. Tras declarar $ \ m(\angle OCA ) \ = \ \phi \ $ , las otras medidas del ángulo que se muestra en el diagrama de seguir directamente.
A partir de la Ley de los Senos, tenemos en $ \ \Delta OAC \ $ ,
$$ \frac{\sin \phi}{a} \ \ = \ \ \frac{\sin(180º \ - \ \theta \ - \ \phi)}{c} \ \ = \ \ \frac{\sin( \theta \ + \ \phi)}{c} \ \ , $$
al aplicar la relación que el seno de un ángulo es igual al seno del ángulo suplementario. En $ \ \Delta OBC \ $ , nos encontramos con
$$ \frac{\sin (180º \ - \ \phi)}{b} \ \ = \ \ \frac{\sin \phi}{b} \ \ = \ \ \frac{\sin( \phi \ - \ \theta)}{c} \ \ , $$
utilizando de nuevo el suplemento de seno" de la relación.
Luego podemos añadir estas dos ecuaciones y aplicar el "ángulo-suma/diferencia" fórmulas para el seno para obtener
$$ \frac{\sin \phi}{a} \ + \ \frac{\sin \phi}{b} \ \ = \ \ \frac{\sin( \theta \ + \ \phi)}{c} \ + \ \frac{\sin( \phi \ - \ \theta)}{c} $$
$$ = \ \ \frac{\sin \theta \ \cos \phi \ + \ \cos \theta \ \sin \phi}{c} \ + \ \frac{\sin \phi \ \cos \theta \ - \ \cos \phi \ \sin \theta}{c} \ \ = \ \ \frac{2 \ \sin \phi \ \cos \theta }{c} \ \ . $$
Dividiendo por $ \ \sin \phi \ $ produce
$$ \frac{1}{a} \ + \ \frac{1}{b} \ \ = \ \ 2 \ \cos \theta \ \cdot \ \frac{1}{c} \ \ , $$
que difiere de la ecuación sólo por un multiplicativo constante depende de la elección de $ \ m(\angle O ) \ $ . (Esto significa que el empleo de la figura como un hodographic dispositivo como VividD describe en el Trivial nota, cualquier ángulo va a hacer después de dividir este factor constante.) Para $ \ \theta \ = \ \frac{\pi}{3} \ $ , tenemos exactamente la relación buscada.
No estoy seguro de lo que el protocolo es para agregar una por separado respuesta cuando se utiliza un diferente enfoque. Si hay un problema con esta, me puedo mover esto a mi entrada existente.
Aquí es un método que utiliza la geometría analítica. He cambiado el etiquetado de los dos puntos, ya que se desea situar el origen del sistema de coordenadas en un punto diferente de $ \ O \ $ en el diagrama original. Para su comodidad, voy a poner el ápice de $ \ \Delta ACB \ $$ \ (0, c) \ $ , con la línea de $ \ OC \ $ $ \ y-$ eje, y las líneas de $ \ AC \ $ $ \ BC \ $ haciendo ángulos iguales a la $ \ y-$ eje. Las ecuaciones de las líneas por las que los lados del triángulo mentira se $ \ AC : \ y \ = \ c \ + \ mx \ , \ BC : \ y \ = \ c \ - \ mx \ , \ AB : \ y \ = \ kx \ , $$ \ k \ < \ m \ $ . (Esta condición resulta ser importante.)
Nos encontramos con las ubicaciones de los puntos de intersección $ \ A \ $ $ \ B \ $ a partir de
$$ k \ x_A \ = \ c \ + \ m \ x_A \ \ \Rightarrow \ \ x_A \ = \ \frac{c}{k - m} \ \ , \ \ y_A \ = \ c \ + \ \frac{mc}{k - m} \ \ , $$ $$ k \ x_B \ = \ c \ - \ m \ x_B \ \ \Rightarrow \ \ x_B \ = \ \frac{c}{k + m} \ \ , \ \ y_A \ = \ c \ - \ \frac{mc}{k + m} \ \ . $$
[Vamos a ver dentro de poco que es preferible expresar el $ \ y-$ coordenadas de esta manera.]
Los cuadrados de las longitudes de los lados $ \ AC \ $ $ \ BC \ $ se obtiene a continuación
$$ a^2 \ = \ \left( \ \frac{c}{k - m} \ - \ 0 \ \right)^2 \ + \ \left( \ c \ - \ \left[ \ c \ + \frac{mc}{k - m} \ \right] \ \right)^2 \ = \ \ c^2 \ \left[ \ \frac{1 + m^2}{(k - m)^2} \ \right] \ \ , $$ $$ b^2 \ = \ \left( \ \frac{c}{k + m} \ - \ 0 \ \right)^2 \ + \ \left( \ c \ - \ \left[ \ c \ - \frac{mc}{k + m} \ \right] \ \right)^2 \ = \ \ c^2 \ \left[ \ \frac{1 + m^2}{(k + m)^2} \ \right] \ \ . $$
Podemos escribir directamente el $ \ \frac{c}{b} \ = \ \frac{k + m}{\sqrt{1 + m^2}} \ $ . Sin embargo, ya que estamos en la construcción de relaciones de positivo longitudes, debemos escribir $ \ \frac{c}{a} \ = \ \frac{\sqrt{(k - m)^2}}{\sqrt{1 + m^2}} \ = \ \frac{|k - m|}{\sqrt{1 + m^2}} \ = \ \frac{m - k}{\sqrt{1 + m^2}} \ $ . (He encontrado que esto es un poco de trampa para los incautos... yo también voy a señalar en este punto que la formación de estas proporciones, ahora los enlaces de este enfoque para quienes el uso de la trigonometría, de alguna manera.)
Sumando las dos proporciones produce
$$ \frac{c}{a} \ + \ \frac{c}{b} \ = \ \frac{m - k}{\sqrt{1 + m^2}} \ + \ \frac{k + m}{\sqrt{1 + m^2}} \ = \ \frac{2m }{\sqrt{1 + m^2}} \ \ . $$
Para el caso especial de $ \ m(\angle ACO) \ = \ m(\angle BCO) \ = \ \frac{\pi}{3} \ $ , tenemos la pendiente $ \ m \ = \ \frac{1}{\sqrt{3}} \ $ . Así que nuestra relación se reduce a
$$ \frac{c}{a} \ + \ \frac{c}{b} \ = \ \frac{2 \ \cdot \ \frac{1}{\sqrt{3}} }{\sqrt{1 + \frac{1}{3}}} \ = \ \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}} \ = \ 1 \ \ . $$
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