Cómo mostrar $a$ y $b$ son diferentes??

Question

Tenemos una función continuamente diferenciable $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ de tal manera que $f(0)=0, f(1)=1$ . Necesitamos mostrar que existen diferentes números reales $a,b \in (0,1)$ de tal manera que $f'(a)f'(b)=1.$

Utilicé el teorema del valor medio de la siguiente manera: Existe $\alpha\in (0,1)$ de tal manera que $(f \circ f)'( \alpha )=1$ es decir, $f'(f( \alpha ))f'( \alpha )=1$ . Deje que $a=f( \alpha )$ y $b= \alpha$ . Entonces.., $f'(a)f'(b)=1$ . Pero no usé la continuidad del derivado, y no sé cómo demostrar que $a \neq b$ . Gracias, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Todo lo que necesitamos es encontrar un punto donde el gráfico cruce la línea diagonal $x+y=1.$ Entonces aplicaremos MVT a ambos lados de ese punto.

Toma $$g(x) = x + f(x) - 1.$$ Tenemos $$g(0) = -1, \; \; \; g(1) = 1.$$ Por el Teorema del Valor Intermedio, para algunos $0 < t < 1$ tenemos $g(t) = 0,$ que significa $t + f(t) - 1 = 0$ o $$f(t) = 1-t$$ Tengan en cuenta que $1-t \neq 0,$ de hecho $0 < 1-t < 1.$

Por el teorema del valor medio, hay un valor $a$ entre $0$ y $t$ para que $$f'(a) = \frac {1-t}{t}$$ También hay un valor $b$ entre $t$ y $1$ de tal manera que $$f'(b) = \frac {1-(1-t)}{1-t} = \frac {t}{1-t}$$