Derivación de la fórmula del volumen de un cono - escuela media

Question

Sé que hay varias soluciones para las pruebas basadas en el cálculo, pero ¿cómo explicarías la fórmula del volumen de un cono a los alumnos de secundaria?

Por favor, no des el poco riguroso "imagina que llenas un cilindro con N conos... ya lo tienes, ¡son 3 conos!".

Answer 1

Sería útil que les explicaras el método de Arquímedes. El principio básico es que si tienes dos objetos tridimensionales ( $A$ y $B$ ) y un plano de referencia, y para cada plano paralelo al plano de referencia, la sección transversal de $A$ en ese plano tiene un área exactamente $k$ veces la sección transversal de $B$ en el mismo plano, entonces $A$ tiene $k$ veces el volumen de $B$ .

Se puede dividir un cubo en tres pirámides cuadradas, de modo que el volumen de cada pirámide es $1/3$ el producto de la superficie de la base por la altura. Si se parte de un cubo de la misma altura que el cono circular derecho, el método de Arquímedes muestra que la relación entre el volumen del cono y el volumen de una de las pirámides cuadradas es la relación entre la base circular del cono a la base cuadrada de la pirámide. Si se sigue este método, se descubre que el volumen del cono es también $1/3$ el producto de la superficie de la base por la altura.

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Actualización: Esta respuesta El sitio web de la empresa, mencionado en un comentario, dice más o menos lo mismo, pero con más detalle y con buenos diagramas. Lástima que no haya encontrado ese enlace en mi propia búsqueda, pero ahí está de todos modos.