Calcular$$\int_\gamma \frac{(z+27i)(z+16)}{z(z+81)^2}dz$$ where $\gamma$ is the triangle whose vertices are the third roots of $z = -8i$, orientada hacia la izquierda.
Respuesta:
He calculado el tercer raíces de $-8i$ y todos ellos tienen el módulo de $2$. Esto me dice que la distancia máxima de $\gamma$ desde el origen se $2$.
Hay singularidades en $z=0, z=-81$. Como $81 > 2$, esta singularidad cae fuera de $\gamma$, por lo que el único que importa es $z = 0.$
Luego aplica de Cauchy de la Integral de la Fórmula $$\int_\gamma \frac{(z+27i)(z+16)}{z(z+81)^2}dz = 2\pi i [\frac{(z+27i)(z+16)}{(z+81)^2}] |_{z=0}$$
Y me dieron un resultado final de $\displaystyle\frac{-32\pi}{243}$.
Es mi análisis y resultado final correcto?
