Valores propios del sistema lineal$XA +A^T X = 0$

Question

Estoy siguiendo una prueba del siguiente teorema, se reformula desde Teorema 8.5 del libro "Introducción a la teoría de inclusiones diferenciales" por Georgi V. Smirnov.

Deje $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ ser autovalores de una constante de matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $X \in \mathbb{R}^{n\times n}$ ser una variable en el conjunto de matrices simétricas. Considere un sistema lineal $XA + A^TX = 0$. Es equivalente a $Bx = 0$ donde $x = (X_{11},X_{12},X_{22},\dots,X_{1n},\dots,X_{nn}) \in \mathbb{R}^{n(n+1)/2}$. Definir \begin{align} C &= \{\text{all eigenvalues of %#%#%}\}, \\ D &= \{m_1\lambda_1 + \cdots + m_n\lambda_n \mid m_i \in \{0,1,2\},\,m_1 + \cdots + m_n = 2\}. \end{align} Entonces, C = D.

Entendí la parte $B$, pero estoy atascado en la parte $D \subset C$. Si $C\subset D$, entonces es obvio, pero en el caso de $|D| = n(n+1)/2$ el libro dice que sólo "En el caso general, el resultado puede ser obtenida tomando el límite". ¿Me puedes dar alguna sugerencia o referencia de cómo utilizar el límite?

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Espero que esto sea una correcta prueba de la parte $|D| < n(n+1)/2$ que utiliza el límite.

Desde $C \subset D$ $D\subset C$ es en la mayoría de las $|C|$ si $n(n+1)/2$,$|D| = n(n+1)/2$. Supongamos $D = C$. Considere un sistema lineal $|D| < n(n+1)/2$ donde $X(A + dA) + (A + dA)^TX = 0$. Es equivalente a $dA \in \mathbb{R}^{n\times n}$$(B + dB)x = 0$. Deje $\|dA\| \to 0 \Leftrightarrow \|dB\| \to 0$ $\{\lambda_1'(dA),\dots,\lambda_n'(dA)\}$ ser autovalores de a$C = \{\rho_1,\dots,\rho_{n(n+1)/2}\}$$A + dA$, respectivamente. Definir \begin{align} C' &= \{\rho_1'(dB),\dots,\rho_{n(n+1)/2}'(dB)\} = \{\text{all eigenvalues of %#%#%}\}, \\ D' &= \{m_1\lambda_1'(dA) + \cdots + m_n\lambda_n'(dA) \mid m_i \in \{0,1,2\},\,m_1 + \cdots + m_n = 2\}. \end{align} Soluciones de la característica de ecuaciones $B$ $B + dB$ son funciones continuas con respecto a los parámetros. Así que, para todos los $\det(A + dA - \lambda I) = 0$ existe $\det(B + dB - \rho I) = 0$ tal que $\varepsilon > 0$ $\delta > 0$ si $\max_i |\lambda_i'(dA) - \lambda_i| < \varepsilon$$\max_i|\rho_i'(dB) - \rho_i| < \varepsilon$; suponemos que los valores propios son debidamente enumerados. Además, existe $\|dA\| < \delta$ de manera tal que todos los autovalores de a $\|dB\|< \delta$ son distintos. Además, existe $\|dA\| < \delta$ satisfacción $A + dA$. Deje $\|dA\| < \delta$. Existe $|D'| = n(n+1)/2$ tal que \begin{equation} |\rho - (m_1\lambda_1 + \cdots + m_n\lambda_n)| \le |\rho - \rho'| + |\rho' - (m_1\lambda_1 + \cdots + m_n\lambda_n)| < (1 + 2n)\varepsilon. \end{equation} Desde $\rho \in C$ es arbitrario, $\rho' = m_1\lambda_1(dA) + \cdots + m_n\lambda_n(dA) \in C'$.

Answer 1

Deje $A$ $n\times n$ matriz. Definir $M^A$ el módulo sobre $\mathbb{R}[x]$ $\mathbb{R}^n$ equipada con $x\cdot v = A v$ cualquier $v\in\mathbb{R}^n$.

Por la estructura de finitely generado en el módulo principal ideal de dominio, tenemos $$ M^A = \oplus \mathbb{R}[x]/(f_i^{r_{i s_i}}) \ \ (*) $$ con algunos polinomios irreducibles $f_i$ y enteros $r_{i s_i}\geq 1$ que satisfacer $\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^{s_i} r_{i j}=n$.

Ahora, si $\lambda$ es un autovalor de a $B$, entonces no es un valor distinto de cero de la matriz $X$ tal que $$ X(A-\lambda I) + A^T X = 0 \ \ (1) $$ donde $I$ $n\times n$ matriz identidad.

El conjunto solución de la ecuación de $(1)$ puede ser descrito como un grupo de módulo homomorphisms $$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{R}[x]} (M^{\lambda I - A}, M^{A^T}). \ \ (2) $$

Es bien sabido que el $A$ $A^T$ es similar. Por lo tanto, $(2)$ es isomorfo a

$$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{R}[x]} (M^{\lambda I - A}, M^{A }). \ \ (3) $$ A partir de la estructura $(*)$, el grupo de homomorphism $(3)$ tiene un elemento no trivial si y sólo si $$ \lambda \lambda_i = \lambda_j $$ donde $\lambda_i, \lambda_j$ son los autovalores de a $A$. Por lo tanto, tenemos $C=D$.