Convergencia de series semi-telescópicas$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

Question

Realiza las siguientes series convergen? Si lo hace, determinar el límite correspondiente.

$$\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}\right)$$

La única cosa que he notado hasta ahora es la ocurrencia de od telescópicos de la serie a través de una transformación:

$$\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}=\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$$

El test del cociente de entrega el resultado de la $k/(k+3)$, lo que la hace ineficiente, así que tengo que intentar algo más. Ahora he estado pensando en encontrar una expresión explícita para las sumas parciales

$$\sum\limits_{k=1}^N\left(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\right)$$

sin embargo yo no lo sé, ¿cómo así que tampoco sé si es suficiente para demostrar que las sumas parciales se reunirán para $N\to\infty$ a la conclusión de que la serie tendrá un límite.

Necesito ayuda acerca de cómo determinar la expresión explícita de las sumas parciales y quisiera saber algunas buenas sugerencias sobre qué hacer otra cosa.

Answer 1

Lo estás haciendo más de lo necesario: para cada una de las $k\in\Bbb Z^+$

$$\frac1{k(k+1)(k+2)}<\frac1{k^3}\;;$$

Ahora solo uso el ordinario de la prueba de comparación.

Estoy asumiendo que ya has demostrado que $\sum_{k\ge 1}\frac1{k^p}$ converge para todos los $p>1$. Si no, tenga en cuenta que

$$\sum_{k\ge 1}\frac1{k^p}\ge\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}\;,$$

que diverge para $p>1$.

Añadido: En vista de los comentarios, voy a sugerir otro enfoque, una variación en fracciones parciales. Con el fin de obtener algo que podría telescopio, desea idealmente dos términos con denominadores que son compensados por $1$, así que trate de esta descomposición:

$$\frac1{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k(k+1)}+\frac{B}{(k+1)(k+2)}\;;$$

claramente $B=-A$$A=\frac12$, lo $$\frac1{k(k+1)(k+2)}=\frac12\left(\frac1{k(k+1)}-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\;,$$ y su suma parcial es

$$\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac1{k(k+1)}-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\;.$$

Answer 2

Insinuación: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right).$
Ahora usa el método de las diferencias para encontrar una expresión explícita para las sumas parciales.

Answer 3

Puede unir cada término desde arriba por$k^{-3}$. ¿Sabes que la suma converge? Si no, puede enlazar eso desde arriba con la integral de$x^{-3}$

Answer 4

Puede escribirlo en la forma$x_k=a_{k+2}-2a_{k+1}+a_k$ (ya casi está ahí). Por lo tanto, si usted escribe las sumas parciales

PS

Si cancela los términos intermedios correspondientes, verá que, como$$x_1+ \cdots + \cdots + x_n$, la suma converge claramente.

Ya casi estás ahí.