Deje $\mathcal L$ ser una contables de primer orden de la lengua y deje $\mathcal M = (M; s^{\mathcal M} \mid s \in \mathcal L)$ $\mathcal L$- modelo.
Definición 1. $\mathcal M$ tiene un lightface definibles por el bien de la orden iff hay un $\mathcal L$-fórmula $\phi(x,y)$ tal que $$ \{ (x,y) \in M^2 \mid \mathcal M \modelos \phi(x,y) \} $$ es un bien de orden de $M$.
Observación 2. Vamos $\mathcal L$, $\mathcal M$ ser arriba y deje $\prec_\phi$ el lightface bien-orden definido por $\phi$$\mathcal M$. Entonces podemos definir, por cualquier $X \subseteq M$ canónica de Skolem Casco $$ \operatorname{Casco}^{\mathcal M}_{\prec_\phi}(X) \prec \mathcal M $$ de la siguiente manera: Para cada una de las $\mathcal L$-fórmula $\chi(x_0, \ldots, x_n)$ y cada una de las $p_1, \ldots, p_n \in M$ vamos $$ \tau^{\mathcal M}_\chi [p_1, \ldots, p_n ] = \begin{cases} \min_{\prec_\phi} \{ x \mid \mathcal M \models \chi[x,p_1, \ldots, p_n] \} & \text{, if this set is nonempty} \\ \text{undefined} & \text{, otherwise} \end{casos} $$
A continuación, $\operatorname{Hull}^{\mathcal M}_\phi(X) := \bigcup_{n < \omega} X_0$ $X_0 := X$ y $$ X_{n+1} := \{ \tau^{\mathcal M}_\phi[p_1, \ldots, p_n] \mediados de p_1, \ldots, p_n \en X_n \} $$
es (el universo) la $\subseteq$-menos de la primaria de la subestructura de $\mathcal M$ que contiene $X$ como un subconjunto. Además, si $\prec_\phi, \prec_\psi$ son distintos lightface bien las órdenes de $\mathcal M$ a continuación, para todos los $X \subseteq M$ $$ \operatorname{Casco}_{\prec_\phi}^{\mathcal M} (X) = \operatorname{Casco}_{\prec_\psi}^{\mathcal M}(X). $$
Por eso, no podemos simplemente escribir $\operatorname{Hull}^{\mathcal M}(X)$ para este elemental de la subestructura.
Observación 3. Vamos $\mathcal{M}$, $\mathcal{L}$ ser como el anterior pero no asuma que $\mathcal M$ tiene un lightface definibles por el bien de la orden. Corrección de cualquier orden de $\sqsubseteq$$M$. A continuación, $\mathcal{M}[\sqsubseteq] = (M; \sqsubseteq, s^{\mathcal M} \mid s \in \mathcal L )$ $\sqsubseteq$ como su lightface $\mathcal L \cup \{ \dot{\sqsubseteq} \}$definibles por el bien de la orden y es ciertamente posible tener distintas bien las órdenes de $\sqsubseteq_0, \sqsubseteq_1$ $M$ tal que $$ \operatorname{Casco}^{\mathcal M[\sqsubseteq_0]}(\emptyset)\neq \operatorname{Casco}^{\mathcal M[\sqsubseteq_1]}(\emptyset). $$
Esto nos lleva a la siguiente
Pregunta 4. Supongamos que $\mathcal M$ $\mathcal L$- estructura tal que para todos los $X \subseteq M$ y para todas las órdenes de $\sqsubseteq_0, \sqsubseteq_1$ $M$ hemos $$ \operatorname{Casco}^{\mathcal M[\sqsubseteq_0]}(X) = \operatorname{Casco}^{\mathcal M[\sqsubseteq_1]}(X). $$ De lo anterior se sigue que el $\mathcal M$ tiene un (lightface) definibles por el bien de la orden?
Sospecho que la respuesta a esta pregunta es " no " y que hay una bastante trivial contraejemplo. Sin embargo, desde que estoy al parecer echado a perder por la uniformidad de las estructuras estoy normalmente ocupa, parece que soy incapaz de encontrar algún ejemplo.
