Homología del telescopio cartográfico.

Question

Se afirma aquí http://math.uchicago.edu/~mayo/CONCISO/ConciseRevised.pdf que si $X$ es un aumento de la unión del tipo $X=\bigcup_{i \in I}X_i$ (donde $X_i \subset X_{i+1}$), entonces tenemos un isomorfismo para cualquier teoría de la homología $E$:$$colim_i E_* (X_i) \simeq E_*(X).$$ Para probar esto, la asignación de telescopio de las inclusiones $j_i: X_i \to X_{i+1}$ se presentó, a lo largo de las páginas 115-116 llegar a un diagrama que debe dar fe de la existencia de la iso. (La fila inferior es la conocida presentación de la colimit de un functor hacia abelian grupos).

No veo por qué no debería de existir un isomorfismo $\xi$, y esto también es un poco extraño, ya que el autor había afirmado con anterioridad que él no probaría la reclamación directamente. ¿Que mapa provienen de puro diagrama persiguiendo orare no participan de la construcción anterior en una manera no evidente?

Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Las cosas se ponen más clara si uno amplía las secuencias a la derecha: $$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} & \ra{} & E_q(C) & \ra{} & E_q(A)\oplus E_q(B) & \ra{} & E_q(telX_i) & \ra{} & E_{q-1}(C) & \ra{} & E_{q-1}(A)\oplus E_{q-1}(B) & \ra{} &\\ & & \da{\cong} & & \da{\cong} & & \da{\cong} & & \da{\cong} & & \da{\cong} \\ & \ras{} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\alpha'} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\beta'} & E_q(X) & \ras{\partial} & \sum_i E_{q-1}(X_i) & \ras{\alpha'} & \sum_i E_{q-1}(X_i)& \ra{} & \\ & & \da{\sum_i(-1)^i} & & \da{\sum_i(-1)^i} & & & & \da{\sum_i(-1)^i} & & \da{\sum_i(-1)^i} \\ & \ras{0} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\alpha} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\beta} & colim E_q(X_i) & \ras{0} & \sum_i E_{q-1}(X_i) & \ras{\alpha} & \sum_i E_{q-1}(X_i) & \ra{} &\\ \end{array} $$

Puesto que los mapas $\sum_i(-1)^i$ son isomorphisms y la $\alpha$-$\alpha'$ plazas de viaje, todos los límites de los operadores del tiempo exactos secuencias son iguales a cero, mapas y se obtiene un diagrama de corto exacta de las secuencias de $$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} 0 & \ras{} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\alpha'} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\beta'} & E_q(X) & \ras{} & 0 \\ & & \da{\sum_i(-1)^i} & & \da{\sum_i(-1)^i} \\ 0 & \ras{} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\alpha} & \sum_i E_q(X_i) & \ras{\beta} & colim E_q(X_i) & \ras{} & 0 \\ \end{array}, $$ in which the columns are isomorphisms and so induce an isomorphism $\zeta\colon E_q(X)\rightarrow colim E_q(X_i)$. With the help of the commutativity of the diagrams and the definition of $\beta'$, one can now check that the inverse of this isomorphism is the natural map $$colim E_q(X_i)\rightarrow E_q(X),$$ induced by the inclusions $X_i\rightarrow X$.