Un isomorfismo que lleva Z12 (enteros módulo 12 bajo adición) a Z13* (enteros módulo 13 bajo multiplicación)

Question

Me cuesta encontrar un isomorfismo que tome los enteros en $\mathbb{Z}_{12}$ (aquellos enteros módulo 12 bajo adición) a los enteros en $\mathbb{Z}_{13}^{*}$ (aquellos enteros módulo 13 que son relativamente primos a 13 bajo la multiplicación)

La pista dice que hay que empezar con $\phi(1)$ , donde $\phi$ es el isomorfismo, y probar varios $\phi(1)$ hasta que eso funcione.

Intento: He empezado por intentar averiguar qué es exactamente lo que pide el problema.

Si tengo $7+9$ en $\mathbb{Z}_{12}$ que es igual a 4. Entonces, ¿qué significa eso para $\mathbb{Z}_{13}$ ? $7 \cdot 9=11$ en $\mathbb{Z}_{13}^{*}$ . Entonces, ¿quiero algo que lleve de 4 a 11 si ese fuera el caso?

Answer 1

Los dos grupos son cíclicos, lo que significa que si hay un isomorfismo tiene que ser un homomorfismo que envíe un generador a otro.

Encontrar un generador en el primer grupo es bastante sencillo: $1$ hará el truco.

La pregunta ahora es: ¿Qué es un generador en este último grupo?

¿Puedes encargarte del problema a partir de aquí?

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Ahora que se ha resuelto el problema, puede ser interesante observar cómo se puede pasar de un grupo a otro utilizando nuestro isomorfismo para resolver algunos problemas de la teoría de números.

Por ejemplo: ¿Qué es $2^{25}$ mod $13$ ?

Respuesta: Usando nuestro isomorfismo, podemos devolver esto a $(\mathbb{Z}_{12}, +)$ donde se encuentra $25$ mod $12$ que es lo mismo que $1$ mod $12$ . Ahora podemos enviar esto de vuelta al lugar de donde vino, donde está $2^1$ mod $13$ .

Y ahí lo tienes: $2^{25}$ mod $13$ $\equiv$ $2$ mod $13$ .

Hay otras formas (incluso más sencillas) de abordar este ejemplo, pero el enfoque anterior puede darle una idea de cómo se cruzan la Teoría de Grupos y la Teoría de Números; un resultado temprano e importante con el que uno se encuentra en un primer curso de Álgebra Abstracta es a menudo el Pequeño Teorema de Fermat, que se demuestra muy fácilmente utilizando ideas de la Teoría de Grupos (en concreto, el Teorema de Lagrange).