¿Cuál es la definición de un diagrama conmutativo?

Question

Leyendo en ACC (la alegría de los gatos) Me sorprendió bastante conocer a un verdadero definición de diagrama . Esta palabra ha sido usada exactamente $27$ veces ya (créeme) y la pregunta "¿qué es?" no había llegado a mi pensamiento en absoluto. Bien, es bueno tener una definición (11.1(1) ver abajo), pero me hizo esperar una definición de diagrama conmutativo también. Desgraciadamente, no estaba allí. En mi intuición pienso en un diagrama teniendo un poste como esquema, pero no confío en esa intuición lo suficiente para dar esto por sentado. Así que te estoy pidiendo aquí:

¿Cuál es la definición de un diagrama conmutativo?

Gracias de antemano.

11.1 1) Un diagrama en una categoría $ \mathcal {A}$ es un functor $ D:\mathcal {I} \rightarrow\mathcal {A}$ con el codominio $ \mathcal {A}$ . El dominio, $ \mathcal {I}$ se llama el esquema del diagrama.

Answer 1

Dejemos que $\Gamma=(V,E,s,t)$ sea un grafo dirigido ( $V$ = vértices, $E$ = bordes, $s$ = fuente, $t$ = objetivo). Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría. A diagrama de forma $\Gamma$ en $\mathcal{C}$ es una familia de objetos $X(v) \in \mathcal{C}$ para cada vértice $v \in V$ y morfismos $X(e)$ en $\mathcal{C}$ para cada arista $e \in E$ tal que $s(X(e))=X(s(e))$ y $t(X(e))=X(t(e))$ para todos $e \in E$ . Así, cada arista $e : v \to w$ se mapea a un morfismo $X(e) : X(v) \to X(w)$ .

Para una ruta $\gamma$ en $\Gamma$ definimos un morfismo $X(\gamma)$ en $\mathcal{C}$ por inducción: Si $\gamma$ es el camino vacío en un vértice $v$ , dejemos que $X(\gamma):=\mathrm{id}_{X(v)}$ . Si $\gamma = \beta \circ e$ para un camino más corto $\beta$ y un borde $e$ , defina $X(\gamma) := X(\beta) \circ X(e)$ .

El diagrama $X$ se llama conmutativo si para todos los vértices $v,w \in V$ y todos los dos caminos $\gamma,\gamma'$ en $\Gamma$ de $v$ a $w$ tenemos $X(\gamma)=X(\gamma')$ .

Convénzase de que esto coincide con la definición habitual para ejemplos sencillos como

$$\Gamma = \begin{array}{c} \bullet & \rightarrow & \bullet \\ \downarrow && \downarrow \\ \bullet & \rightarrow & \bullet \end{array}$$

Existe una estrecha relación entre los diagramas y los funtores. Si $\mathsf{Path}(\Gamma)$ denota la categoría de trayectoria, entonces los funtores $\mathsf{Path}(\Gamma) \to \mathcal{C}$ corresponden a diagramas de forma $\Gamma$ en $\mathcal{C}$ . Estos corresponden a su vez a homomorfismos de grafos dirigidos $\Gamma \to U(\mathcal{C})$ , donde $U(-)$ es el functor de olvido de categorías a grafos dirigidos.

Si incluso se consideran funtores arbitrarios (con categoría de dominio pequeña) como diagramas, entonces podemos utilizar la misma definición de conmutatividad que la anterior: Cada dos cadenas de morfismos entre dos objetos dados son mapeados al mismo morfismo.

A veces, sólo se exige la condición de conmutatividad para determinadas trayectorias. Por ejemplo, cuando se trata de gavillas o conjuntos simpliciales, normalmente un diagrama de la forma $$\begin{array}{c} \bullet & \rightrightarrows & \bullet \\ \downarrow && \downarrow \\ \bullet & \rightrightarrows & \bullet \end{array}$$ se denomina conmutativo si los dos cuadrados formados por los dos morfismos horizontales superior e inferior son conmutativos.

PD: Acabo de descubrir que estas definiciones también se encuentran en el documento de Grothendieck sobre Tohoku.