Analice la convergencia de$ \left \{ a_n \right\} $ donde$ a_{n+1}=\frac{a_0}{2}+\frac{a_n^2}{2},n\geq 1 $

Question

Deje que$$ a_{n+1} = \dfrac{a_0}{2} + \dfrac{a_n^2}{2} $ $ donde$ a_1 = \dfrac{a_0}{2} $ y$ n\geq 1 $

Discuta la convergencia de$ \left\{a_n\right\} $

Answer 1

Deje $z_n = \frac{a_n}{2}$. Entonces $$ z_{n+1} = c + z_n^2$$ where $c = \frac{a_0}{4}$

El conjunto de $c$ para que la secuencia de $(z_n)$ está delimitado es el conjunto de Mandelbrot. Esto indica que para el complejo de $c$ la pregunta es desesperado. Real $c$ la iteración es conjugado a la de la logística de los mapas de $\lambda x (1-x)$$\lambda \in [1,4]$, que incluye el régimen caótico además de los casos analizables.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set#Basic_properties
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

Answer 2

Una mayor coherencia de la presentación es definir $(a_n)_{n\geqslant0}$ $a_0=0$ $a_{n+1}=u_\alpha(a_n)$ por cada $n\geqslant0$, para algunas de las $\alpha$ donde $u_\alpha:x\mapsto\frac12\alpha+\frac12x^2$. (Esto reemplaza $a_0$ en la pregunta por $\alpha$, pero los rendimientos de la misma secuencia $(a_n)_{n\geqslant1}$.) Como con todos los recursiva de la secuencia, la primera cosa a hacer es dibujar en una misma imagen la gráfica de las funciones $u_\alpha$ y la diagonal que es la gráfica de la función $x\mapsto x$. Esta imagen, a continuación, permite determinar la asymptotics de $(a_n)$.

Supongamos primero que $\alpha\gt0$ y $\alpha$ es tan grande que $u_\alpha(x)\gt x$ por cada $x$, $a_n\to\infty$ (e $(a_n)$ es creciente). Esto sucede para cada $\alpha\gt1$. Si $\alpha=1$, $x=1$ es el único punto fijo de $u_\alpha$, por lo tanto $a_n\to1$ (e $(a_n)$ es creciente). Bajando otra vez el valor de $\alpha$, $u_\alpha(x)=x$ tiene dos soluciones, una de ellas $x_\alpha\lt1$, por lo tanto $a_n\to x_\alpha$ (e $(a_n)$ es creciente). Esto sucede para cada $\alpha$$[0,1]$, e $x_\alpha=1-\sqrt{1-\alpha}$. (Es posible que desee comparar con algunos de los valores numéricos @AlexRavsky calculada.)

Cuando $\alpha\lt0$, $u_\alpha(x)=x$ tiene dos soluciones $x_\alpha=1-\sqrt{1-\alpha}$$z_\alpha=1+\sqrt{1-\alpha}$, de tal manera que $x_\alpha\lt0$$z_\alpha\gt2$, e $a_1\lt0$ por lo tanto la gráfica de $u_\alpha$ $(-\infty,0)$ se convierte en relevante, donde $u_\alpha$ está disminuyendo, y se vuelve menos simple para establecer la asymptotics de $(a_n)$.

Sin embargo, si $\alpha\gt-3$, el punto fijo, $x_\alpha$ es estable desde $|u'_\alpha(x_\alpha)|\lt1$ por lo tanto la convergencia a $x_\alpha$ es posible, mientras que si $\alpha\lt-3$, $x_\alpha$ es inestable por lo tanto no hay convergencia a $x_\alpha$. Tenga en cuenta que en el régimen $\alpha\lt-3$, $(a_n)$ puede, sin embargo, convergen para algunos de los excepcionales valores de $\alpha$. Por ejemplo, si $\alpha=-8$, el positivo de punto fijo de $u_\alpha$ $z_\alpha=4$ $a_2=z_\alpha$ por lo tanto $a_n\to4$, mientras que si $\alpha$ está justo debajo $-8$, $a_2$ es justo por encima de $z_\alpha$ por lo tanto $a_n\to\infty$. Del mismo modo, si $\alpha\approx-4.99038$, el positivo de punto fijo de $u_\alpha$ $z_\alpha=1+\sqrt{1-\alpha}\approx3.44753$ $a_4=z_\alpha$ por lo tanto $a_n\to z_\alpha$.

Answer 3

Como insinuación de Papa, escribí el siguiente programa de Pascal.

 program Sequence;
 uses
   Crt;
const
  a0=1;
var
  an:Double;
begin
clrscr;
an:=a0/2;
repeat
an:=a0/2+sqr(an)/2;
writeln(an);
until keypressed;
end.
 

La evidencia experimental obtenida sugiere el comportamiento complejo de la secuencia, como la secuencia generada por el mapa logístico . Estas son algunas de mis intuiciones.

\begin{array}{rl} a_0 & \mbox{Behavior of the sequence} \\ 0 & \mbox{Stabilizes at } 0 \\ 1 & \mbox{Monotonically increases and relatively slowly converges to } 1 \\ 2 & \mbox{Monotonically increases and very quickly "converges" to } \infty \\ 1/2 & \mbox{Monotonically increases and very quickly converges to } 0.2928932188\dots \\ 1/3 & \mbox{Monotonically increases and very quickly converges to } 0.1835034190\dots \\ -1 & \mbox{Alternately and very quickly converges to }–0.4142135623\dots \\ -2 & \mbox{Alternately converges to }– 0.7320508075\dots \\ -1/2 & \mbox{Alternately converges to }– 0.2247448713\dots \\ - 3 & \mbox{Alternately and very very slowly converges to } –1 \\ -4 & \mbox{Stabilizes at a cycle (0,-2) of length } 2 \\ -8 & \mbox{Stabilizes at } 4 \\ -5 & \mbox{Very slowly "converges" to a cycle} \\ & (-2.414088914\dots, 0.4139131902\dots,-2.4143379354\dots,0.414513833\dots) \mbox{ of length } 4 \\ -6 & \mbox{Chaotic?} \end{formación}