Un problema en el libro de Shafarevich

Question

He encontrado un problema en el libro de Shafarevich y no tengo ni idea:

Sea$X$ una hipersuperficie dada por la ecuación$f_{m-1}(x_1,\cdots, x_n) + f_m(x_1,\cdots, x_n) = 0$ donde$f_{m-1}$ y$f_m$ son polinomios homogéneos no cero de grados$m-1$ y$m$, respectivamente. Demuestre que si$X$ es irreducible, es racional. (Shafarevich, Problema I.3.5.)

Answer 1

¿Por qué no pruebas un ejemplo concreto primero?

La curva$y^2 -x^3 = 0$ es un ejemplo del tipo de hipersuperficie que está considerando Shafarevic. Si considera la intersección de la línea$y = tx$ con esta curva, obtendrá$t^2 x^2 = x^3,$ que tiene la solución única que no es cero$x = t^2$. De esta manera, se obtiene la parametrización racional$t \mapsto (t^2,t^3)$ de la curva original. ¿Puedes ver cómo generalizar esto?