Sobolev espacios en unidimensional vs multidimensional.

Question

Aquí en Wikipedia, se dice que en el caso unidimensional, es suficiente para suponer que el $(k-1)$-ésima derivada de la función $f$, es derivable en casi todas partes y es igual en casi todas partes la integral de Lebesgue de su derivada.

En el otro lado, en las multidimensional caso, se dice que debemos trabajar con derivados en el sentido de las distribuciones, porque lo que se utiliza en el caso unidimensional no funciona.

Sólo quiero que se aclare por qué hay diferencias entre los unidimensional y multidimensional caso.

Answer 1

El punto es que la debilidad de los instrumentos derivados son realmente los "más débiles" que dan la espalda a la función original cuando se integra. Es decir, si $f=f(x_1\ldots x_n)$, entonces la función de $g$ es igual a la débil derivado $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ si y sólo si $$\tag{1}f(x_1\ldots x_j+h \ldots x_n)-f(x_1\ldots x_j\ldots x_n)=\int_{x_j}^{x_j+h} g(x_1\ldots \tau\ldots x_n)\,d\tau.$$ Therefore one could in principle define Sobolev spaces in terms of integrals, just like in the one-dimensional case. However, due to the usual caveats of measure theory, relation (1) does not hold at all "horizontal" lines $\{x_j + h\ h\in \mathbb{R}\}$ but only for almost all $x_j$. Esto genera algunas complicaciones - no soy experto en eso - y que es la razón por la costumbre de distribución es el más popular.

Para más información, es posible que desee buscar por la palabra clave "ACL propiedad" en algún libro de Sobolev en espacios como el de G. Leoni.

P. S.: Ver también esta respuesta.