$PGL_2(\Bbb R)$ como esquema

Question

Cómo es $PGL_2(\Bbb R)$ un esquema? Aquí está mi proceso de pensamiento

1. $GL_2(\Bbb R)=Spec(\Bbb{R}[w,x,y,z,q]/((wz-xy)q-1))$
2. Queremos $PGL_2(\Bbb R)=GL_2(\Bbb R)/\Bbb{G}_m(\Bbb R)$ de alguna manera.
3. Podemos encontrar $PGL_2(\Bbb R)$ como el subconjunto abierto de $\Bbb RP^3$ $$\{[w:x:y:z]\in\Bbb RP^3\mid wz-xy\ne 0\}$$
4. Podemos encontrar $PGL_2(\Bbb R)$ como el subconjunto cerrado de $\Bbb RP^5$ dado por $$\{[w:x:y:z:q:a]\in\Bbb RP^5\mid (wz-xy)q-a^3=0\}$$
5. Tal vez, entonces, podemos concluir que $PGL_2(\Bbb R)$ es el esquema: $$Proj(\Bbb{R}[w,x,y,z,q,a]/((wz-xy)q-a^3)))$$

Es esto correcto? O tengo que hacer sentido de $PGL_2(\Bbb R)$ como un categórico cociente o algo más?

Answer 1

$PGL_n$ es dado como un grupo-esquema de $\operatorname{Spec} \Bbb Z[x_{ij},\frac{1}{\det}]^{\Bbb G_m}$ con $1\leq i,j\leq n$, donde el superíndice denota tomar invariantes. Es fácil comprobar que los invariantes son exactamente la homogeneidad de grado cero los elementos de la anterior anillo.

Esto es equivalente a su declaración (3), pero sus declaraciones (4) y (5) no están bien. Por ejemplo, $[0:0:0:0:1:0]$ es un elemento de (4), pero obviamente no es un elemento en $PGL_2$.