Mostrar función polinomial es infinitamente diferencialble

Question

Deje que para$\alpha=(\alpha_0,...,\alpha_n)\in\mathbb{C}^{n+1}$ el polinomio$p_\alpha :\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ esté dado por$p_\alpha(z)=\sum_{k=0}^n \alpha_kz^k$.

Muestre que con la identificación$\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2$ con$x+iy\cong (x,y)$, la función$p_\alpha$ es un elemento de$C^\infty(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$.

Puedo leer que estas cosas pueden mostrarse usando el teorema de Taylor, pero ¿cómo puedo aplicarlo aquí?

Answer 1

Os dejo los detalles para usted.

No es muy difícil (y muy útil) para demostrar que:

1. Todas constante de las funciones de se $C^\infty$.
2. Si $f:\mathbb C\to \mathbb C$ $g:\mathbb C\to \mathbb C$ $C^\infty$ (en el sentido dado en el OP pregunta), a continuación, $fg$ $f+g$ también $C^\infty$.
3. $f(z)=z$ $C^\infty$ , lo $f_k(z)=z^k$$C^\infty$.
4. Cualquier polinomio $p$$C^\infty$. Claramente, por 0. y 1. (el producto), cada monomio $a_kz^k$$C^\infty$. El uso de $1.$ (suma) y la inducción, cada polinomio, que es una suma finita de monomio, se $C^\infty$.

Answer 2

Cómo sobre esto:

EDIT: yo creía, equivocadamente, que la serie era infinito, y no es un polinomio. Pensé que la pregunta era acerca de la muestra que cualquier complejo-analítica de la función se $C^{\infty}$ cuando es visto como una función de $\mathbb R^2$ a sí mismo, en virtud de la equivalencia $x+ iy \rightarrow (x,y)$. Mi prueba a continuación, se refiere a este caso.

Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es complejo-diferenciable, es decir, de la analítica en una región $R$ , luego los parciales $u_x, u_y, v_x, v_y$ existen y son continuas. Desde un complejo-analítica de la función $f(z)$ es infinitamente diferenciable, lo mismo va para todos los parciales de todos los órdenes, es decir, $u_{xx}, u_{xy}, u_{yx}, u_{yy}, u_{xxy},....$ son todos infinitamente diferenciable .Por otra parte, $$f'(z)=u_x+iv_x $$. With the identification $x+iy \rightarrow (x,y)$ , we get $$f'(z)=u_x+iv_x =\nabla f(x,y)\rightarrow (u_x,v_x) $$ , where $\nabla$ is the gradient, i.e., the total derivative of $f$. Now, we have from above that both $u_x, v_x$ both exist and are continuous, so that $f(x,y)$ is differentiable. Now we can induct on this result (using the fact from above that all partials exist and are continuous/differentiable, i.e., $C^{\infty}$) to differentiate $f$ cualquier número de veces para obtener el resultado que queremos.

Otro resultado que usted puede utilizar que es más abstracto y más de una mano saludando resultado es que el $\mathbb C$ $\mathbb R^2$ son diffeomorphic como colectores (de hecho, utilizando el mapa en tu post), de modo que cada función derivable en un colector (tras el cambio de coordenadas dado por la diffeomorphism) diferenciable en su diffeomorphic de la imagen.