Deje que$X_1, X_2, X_3, \ldots$ sean variables aleatorias iid con cero y deje que$S_n := X_1 + \ldots + X_n$. ¿$T := \inf\{n: S_n > 0\}$ Siempre tiene un primer momento infinito?
En el caso trivial, donde$X_i = 0$, tenemos$T = \infty$. Para la caminata aleatoria, en la que$X_i = \pm 1$ con probabilidad$1/2$, se puede mostrar que$\mathbb{E}[T]=\infty$. Me pregunto si siempre es el caso que$\mathbb{E}[T]=\infty$.
La respuesta es sí. Esto se deduce indirectamente de la opcional de frenado teorema. La correspondiente formulación del teorema dice lo siguiente. Si $X_n$ es una martingala, los incrementos de $X_n$ "condicionalmente limitada", y $\mathbb{E}(\tau) < \infty$,$\mathbb{E}[X_\tau]=\mathbb{E}[X_0]$. "Condicionalmente limitada" significa que $\mathbb{E}(|X_{n+1}-X_n| \, | \mathcal{F}_n) \leq C$ independiente de $n$.
Aquí $S_n$ es una martingala, porque se trata de una suma de variables iid y sus incrementos son condicionalmente delimitada por $\mathbb{E}[|X_i|]$. Así que las dos primeras hipótesis espera. Ahora, por contraposición, desde la conclusión de falla, la tercera hipótesis también debe fallar. Es decir, desde la $\mathbb{E}[S_\tau] > 0$ mientras $\mathbb{E}[S_0] = 0$, llegamos a la conclusión de que $\mathbb{E}(\tau)=\infty$.
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