Mostrando

Question

Deje $A$ ser diagonalizable $n\times n$ matriz de autovalores $\lambda_1,\dots, \lambda_n$, $B$ una $n\times n$ matriz, y $\lambda$ un autovalor de a$A+B$. Mostrar que $$\min\limits_{j=1,\dots,n}|\lambda-\lambda_j|\le ||C||_p||C^{-1}||_p||B||_p$$ donde $C$ es un nonsingular matriz tal que $C^{-1}AC$ es diagonal y $p=1,2,\infty$.

Estoy teniendo dificultad para averiguar por dónde empezar. Si se dan algunas orientaciones estoy seguro de que se puede conseguir fácilmente el resto. Sé que bajo el supuesto de $A$ es diagonalizable da $C^{-1}AC=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, pero estoy fallando para ver cómo voy a utilizar los otros supuestos. Cualquier entrada sería muy apreciada!

Answer 1

Aquí un argumento para la $p=\infty$ caso.

Supongamos que $(A+B)v=\lambda v$. Desde $C^{-1}AC$ es diagonal, tenemos $C^{-1}ACe_j=\lambda_je_j$, donde $e_1,\ldots,e_n$ son la base canónica. Por lo $Av_j=\lambda_jv_j$, donde $v_j=Ce_j$.

Suponga $A$ es invertible (cuando $A$a no es invertible, podemos ajustar los valores propios ligeramente de modo que es, y el que nos aproximación de las estimaciones). A continuación, $v_1,\ldots,v_n$ son de base. Escribir $v=\sum_jr_jv_j$ para algunos coeficientes de $r_j$. Ahora \begin{align} Bv&=\lambda v-Av=\sum_j r_j \lambda v_j-\sum_jr_j Av_j=\sum_jr_j(\lambda-\lambda_j)v_j\\ \ \\ &=\sum_jr_j(\lambda-\lambda_j)Ce_j. \end{align} Así $$\tag1 \sum_j r_j(\lambda\lambda_j)e_j=C^{-1}Bv. $$ Desde $v\ne0$, $r_k=\max\{|r_j|:\ j\}\ne0$. Entonces $$\tag2 |r_k|\,|\lambda\lambda_k|\leq\left\|\sum_jr_j(\lambda\lambda_j)e_j\right\|_\infty=\|C^{-1}Vb\| $$ También, desde la $v=\sum_jr_jv_j=\sum_jr_jCe_j$, tenemos que $$\tag3 \|v\|=\left\| C\,\sum_jr_je_j\right\|\leq\|C\|\,\left\| \sum_jr_je_j\right\| _\infty=\|C\|\,|r_k| $$ De $(2)$ e $(3)$, $$ |\lambda-\lambda_k|\leq\frac1{|r_k|}\,\|C^{-1}Bv\|\leq\frac1{|r_k|}\,\|C^{-1}\|\,\|B\|\,\|v\|\leq\|C^{-1}\|\,\|B\|\,\|C\|. $$